Теория Клейна-Калуцы

Пространство Клейна-Калуцы

За день до своей смерти Эйнштейн попросил, чтобы ему подали его последние расчеты по объединенной теории поля. Он тридцать лет бесплодно пытался изменить общую теорию относительности так, чтобы она охватывала и электромагнитные силы. Один из самых многообещающих вариантов возник у Эйнштейна в 1919 году, в самом начале его поисков, пока он разбирал почту. Идея посетила его сознание не напрямую, а через письмо одного нищего математика по имени Теодор Калуца.

В письме Эйнштейн нашел предложение, как можно объединить электромагнитные силы с гравитационными. У этой теории была одна маленькая странность. Эйнштейн написал в ответ: «Идея создания [объединенной теории] посредством пятимерного цилиндрического мира никогда не приходила мне в голову…» Пятимерный цилиндр? Да кому вообще такое могло прийти в голову? Никто не знает, как Калуца до этого додумался, однако Эйнштейн в том же письме добавил: «Мне чрезвычайно симпатична ваша мысль». Сейчас нам понятно, что Калуца обогнал время, однако пожадничал измерений.

Общая теория относительности описывала, как материя влияет на пространство через метрику, чьи компоненты – g-факторы – сообщают, как именно измерять расстояние между соседними точками на основании разности их координат. Количество g-факторов зависит от количества измерений пространства. Например, в трехмерном пространстве их шесть. В плоском расстояние равно (разница между координатами х)² + (разница между координатами у)² + (разница между координатам z)², т. е. g_xx, g_yy и g_zz все равны 1, а факторы, соответствующие перекрестным – g_xy, g_yz и g_xz – все равны нулю и их нет в уравнении. В четырехмерном неевклидовом пространстве из общей теории относительности выходит десять независимых g-факторов (принимая во внимание равенства типа g_xy = g_yx), все они описываются уравнениями Эйнштейна. Калуца сначала осознал вот что: если взять пять измерений, возникнут еще g-факторы, отвечающие дополнительному измерению.

Далее Калуца задался вопросом: если формально расширить эйнштейново поле до пяти измерений, какие уравнения получатся для дополнительных g-факторов? Ответ ошеломительный: выходят уравнения Максвелла для электромагнитного поля! Начиная с пятого измерения электромагнетизм вдруг возникает в теории гравитации. Эйнштейн писал: «Формальное единство вашей теории поразительно».

Конечно, интерпретация метрики дополнительного измерения как физического электромагнитного поля требует некоторой возни с теорией. И что там, кстати, с той самой маленькой странностью – дополнительным измерением? Калуца утверждал, что оно конечно по длине, а еще точнее – такое маленькое, что мы бы и его и не заметили, даже если бы сами копошились внутри. Сверх того Калуца заявил, что новое измерение имеет новую топологию: в ней вместо прямой – окружность, т. е. оно замыкается на себе, свертывается (и поэтому, в отличие от конечной прямой, концов не имеет). Представьте Пятуюавеню с нулевой шириной – в виде простой линии. В новом измерении Калуцы пересекающие ее улицы превратятся в окружности, прорезывающиеся из Пятой авеню. Разумеется, пересекающие улицы возникают с интервалом в квартал, но дополнительное измерение есть в каждой точке вдоль авеню. Таким образом если добавить линии новое измерение, она не обрастет окружностями, а превратится в цилиндр наподобие садового шланга. Только очень тонкого.

По сути, Калуца утверждал, что гравитация и электромагнетизм на самом деле суть компоненты одного и того же, но выглядят по-разному потому, что мы наблюдаем некоторое усредненное неощутимое движение крошечного четвертого пространственного измерения. Эйнштейн сомневался в теории Калуцы, однако чуть погодя все же передумал и в 1921 году помог Калуце опубликовать его теорию.

В 1926-м Оскар Клейн, ассистент профессора в Университете Мичигана, независимо от Калуцы предложил ту же теорию, но с некоторыми усовершенствованиями. Одно из них – осознание, что эта теория приводит к верным уравнениям движения частиц, если в этом загадочном пятом измерении частица имеет определенные значения импульса. Эти «разрешенные» значения оказались кратны определенному минимальному импульсу. Если допустить, как это сделал Калуца, что пятое измерение замкнуто на само себя, можно применять квантовую теорию для того, чтобы рассчитать из минимального импульса возможное значение «длины» этого свернутого пятого измерения. Если бы вдруг выяснилось, что измерение это – обозримого, макроскопического размера, теория оказалась бы под угрозой, поскольку мы этого измерения никак не наблюдаем. Но получился размер 10^–30 сантиметра. Без проблем. Измерение скрыто от глаз будь здоров.

Теория Клейна-Калуцы намекала на формальную связь между теориями, но не на структуру, которая тут же предоставляла нечто совершенно новое. Следующие несколько лет физики искали другие предсказания, какие могла бы дать эта теория, – примерно в том же ключе, в каком Клейн рассуждал о размерах нового измерения. Им удалось найти новые доводы, которые вроде бы подразумевали, что с ее помощью можно предсказывать соотношение массы электрона и его заряда. Однако результат предсказания сильно расходился с реальностью. Где-то на полпути между этим затруднением и странным предсказанием пятого измерения физики охладели к новой теории. Эйнштейн в последний раз вернулся к ней в 1938 году.

Калуца, умерший за год до Эйнштейна, так почти и не продвинулся далее. Но кое-что с его неоперившейся теории ему по-крупному перепало. Когда он писал Эйнштейну, ему было 34 и он уже десять лет содержал семью на жалованье приват-доцента (примерный аналог ассистента профессора) в Кёнигсберге. Это самое жалованье лучше всего описывается в терминах дорогой его сердцу математики: за каждый семестр он получал 5 раз по х раз у немецких марок (или, говоря строго, золотых марок), где х было равно числу студентов в его классе, а у – числу лекционных часов еженедельно. В итоге получалось примерно 100 марок в год. В 1926 году Эйнштейн назвал такие условия жизни «schwierig», что примерно означает «только собаки могут жить так». С помощьюЭйнштейна Калуца в 1929 году наконец получил профессорское звание в Университете Киля. Он перебрался в Гёттинген в 1935 году, где стал полноправным профессором. Там он и прожил еще девятнадцать отведенных ему лет. Однако вплоть до 1970-х возможность новых измерений всерьез не рассматривал никто.

Рождение струн

Кто знает, когда нахлынет вдохновение? Еще невозможнее узнать, куда оно заведет. История струнной теории начинается на вершине 750-футовой горы в Средиземноморье. Город называется Эриче, что на Сицилии, – неспешный, жаркий, улицы его узки и одеты в древний камень. Эриче был Эриче, когда по Земле еще бродил Фалес. Ныне город знаменит в первую очередь своим «Centro Ettore Majorana» – культурным и научным центром, в котором не один десяток лет проходят летние школы примерно недельной протяженности. Школы «Этторе Маджорана» – сборища студентов старших курсов и младших сотрудников факультетов, где они встречаются с ведущими учеными разных областей и прослушивают лекции по самым передовым темам науки.

Летом 1967 года одной из таких передовых тем оказался подход к теории элементарных частиц под названием «теория S-матриц». Габриэле Венециано, итальянский выпускник Института Вейцмана в Израиле, находился в аудитории и слушал своего интеллектуального героя – Мёрри Гелл-Манна. Гелл-Манн вскоре получит за свое открытие кварков Нобелевскую премию – их в то время считали внутренними составляющими семейства элементарных частиц, называемых адронами (в то же семейство входят протон и нейтрон). Вдохновение, которое Венециано обрел на той лекции, через несколько лет подвигнет его к созданию начал струнной теории. Темой тогдашней лекции Гелл-Манна были закономерности математической структуры S-матрицы.

S-матрицу придумал Гейзенберг, впервые в 1937 году применил Джон Уилер, а расцвет ее пришелся на 1960-е, и обеспечил его физик из Беркли Джеффри Чу. Буквой S обозначается «scattering» [рассеяние], поскольку главный способ изучения элементарных частиц физиками таков: физики разгоняют частицы до бешеных скоростей и энергий, после чего вляпывают их друг в дружку и смотрят, какие именно дребезги полетят во все стороны. Примерно как изучать устройство автомобиля путем организации автокатастроф.

В мелких авариях удается оторвать что-нибудь скучное, вроде бампера, а вот на гоночной скорости глазам пристального наблюдателя представится полет даже самых крепко ввинченных в пассажирское сиденье болтов и гаек. Но есть одна большая разница. В экспериментальной физике, влепив с размаху «шеви» в «форд», можно получить на выходе комплектующие от «ягуара». В отличие от автомобилей, элементарные частицы могут превращаться друг в друга.

Когда Уилер разработал матрицу рассеяния, уже собрался – и продолжал накапливаться – немалый корпус экспериментальных данных, однако успешной квантовой теории создания и исчезновения элементарных частиц не существовало даже в части электродинамики. S-матрица являла собой черный ящик, в который можно было что-нибудь засунуть – определения сталкивающихся частиц, их импульсов и т. д. – и получить на выходе аналогичные данные, но для вновь возникших частиц.

Для построения матрицы рассеяния, т. е. внутренностей черного ящика, вообще говоря, требовалась теория взаимодействия частиц. Но даже и без теории кое-что об S-матрице сказать можно – основываясь лишь на природных симметриях и общих принципах вроде согласованности с теорией относительности. Соль S-матричного подхода заключалась в выяснении, насколько далеко можно уехать на одних этих принципах.

В 50-х и 60-х годах прошлого века такой подход был практически повальным увлечением. В своей лекции в Эриче Гелл-Манн рассказал о некоторых поразительных закономерностях, называемых дуальностями, которые можно наблюдать при столкновении адронов. Венециано задумался, возникнут ли такие закономерности в более общем случае. Через полтора года он понял: все математические свойства матрицы рассеяния, которые он рассматривал, присущи одной простой математической функции – эйлеровой бета-функции.

Теория Венециано (дуальная модель Венециано) оказалась поразительным открытием. С чего бы потенциально сложной матрице рассеяния принимать столь простую изящную форму? Но таково оказалось первое математическое чудо в ряду многих, какие потом будут регулярно проявляться в струнной теории – как раз такие красивые результаты убедили Шварца, что он не впустую тратит жизнь на теорию струн.

Результат, полученный Венециано, показался физикам настолько элегантным, что вдохновил их на совершенно не S-матричный вопрос: как же устроены процессы столкновения частиц, из-за которых получается матрица рассеяния? Что же у черного ящика внутри? Если бы удалось с этим разобраться, прояснилась бы внутренняя структура сталкивающихся адронов, а также взаимодействие, именуемое сильным, которое ими управляет.

В 1970 году Ёитиро Намбу из Университета Чикаго, Хольгер Нильсен из Института Нильса Бора и Леонард Сасскинд из Университета Иешивы, ответили на вопрос: нужно моделировать элементарные частицы не как точки, а как малюсенькие колеблющиеся струны.

Мы теорию открываем или изобретаем? Физики – дети, блуждающие в сумерках по парку с фонариками в поисках истины, или же дети с кубиками, возводящие башни, пока они не осыплются? Или, на самом деле, – и то, и другое? Тогда какого рода эта дуальность – как та, о которой говорил Гелл-Манн, или как та, что есть у волны и частицы?

Есть и менее приятные синонимы к глаголам «изобретать» и «открывать». Например, «стряпать» или «натыкаться на». Исходная струнная теория – под названием бозонной теории струн – однозначно была «стряпней». Ей не доставало естественности, она полнилась невероятными свойствами, и ее явно собрали в кучу, лишь бы воспроизвести озарение, посетившее Венециано. Но Намбу с коллегами кое на что и наткнулись. Они открыли струнную теорию практически в том же смысле, что Планк когда-то – квантовую. Оба набрели на идею: энергетические уровни можно представить количественно, а частицы можно представить как струны; в обоих случаях ни подлинное значение, ни широта охвата этих идей не были поняты, а на формирование осмысленной теории потребовались годы. Оба набрели на то, что могло быть новым законом природы – или просто математической ужимкой. И лишь годы усилий могли определить, что есть что. В случае с квантовой теорией потребовалось 25 лет – от Планка до Гейзенберга и Шрёдингера. Струнная теория уже проскочила этот рубеж.

Отрывок из книги Леонарда Млодинова "Евклидово окно. История геометрии от параллельных прямых до гиперпространства"