Математика подтверждает эволюцию

 

Ныне биология стала объединяться с другими науками, казалось бы от нее далекими, — физикой, астрономией, математикой. И это тоже необходимо, чтобы осмыслить закономерности природы. Тем исследователям, которым посчастливилось одновременно и в достаточной мере знать и математику, и биологию, удалось создать так называемые математические модели биологических процессов. Математические модели оказались одним из интереснейших и увлекательнейших методов познания закономерностей живой природы и обобщения знаний. 

 

Одним из первых математическую модель создал в 1910 г. англичанин Росс. Она отражала динамику зараженности малярийным плазмодием. Позже, в 1918 г., наш соотечественник Ф. И. Баранов создал математическую модель, в которой использовались простейшие дифференциальные уравнения. Модель Ф. И. Баранова описывала динамику численности рыб. Постепенно модели усложнялись и совершенствовались, становились настолько громоздкими, что исследовать их практически было невозможно до тех пор, пока в 1964 г. почти одновременно канадские ученые Ларкин, Хоустон и мы для решения моделей применили цифровую электронно-вычислительную машину. 

 

При создании математической модели перед исследователем встает ряд сложных проблем: выбор математического аппарата, языка для описания свойств исследуемого объекта, который должен быть в одинаковой степени понятен и для математика и для электронно-вычислительной машины. Любой биологический объект все время изменяет свое состояние. «Единственная постоянная вещь в мире — постоянные изменения», — говорил А. Эйнштейн. И это изменение (динамика) тоже должно найти отражение в математической модели. 

 

Исследователь создает несколько вариантов модели, выбирает наилучший, и дальнейшая «жизнь» модели продолжается на электронно-вычислительной машине. Делать все науки «точными» — вот в чем громадная революционная роль вычислительных машин в истории науки. Математическое моделирование на ЭВМ позволяет количественно изучать сложные системы, а именно сложность объекта и отличает биологию от классической механики. 

 

У нас созданы математические модели, помогающие исследователям изучать жизнь и находить способы для управления различными ее процессами. Мы привыкли к мысли о материальности окружающего нас мира, в том числе и биологической его части. Но современная наука, в частности кибернетика, утверждает нечто большее—мир не только материален, но и поддается количественному описанию. Перефразируя известное изречение И. М. Сеченова, можно сказать, что все — начиная от блеска далеких звезд, шума океанского прибоя и полета пчелы до первого крика ребенка, вдохновенного танца балерины и творческой мечты ученого — может быть описано количественно, то есть на языке математики. Конечно, от этого «может быть описано» до простого «описано» путь долгий и трудный, но ученому нужна уверенность в том, что, как нет непознаваемых вещей, а есть только еще непознанные, так нет вещей, математических моделей которых принципиально нельзя сделать. «Знать — значит уметь моделировать!» — так сказал И. А. Полетаев на одной из конференций по философским вопросам моделирования. 

 

Математические модели в точных науках — физике, астрономии — существуют чуть ли не со времен древних греков и ни в каких ЭВМ для своей реализации не нуждались. А вот для биологии, экономики, социологии необходимы ЭВМ. В биологии, даже если речь идет о жизни отдельного организма, имеются сотни разных зависимостей. 

 

Предположим, растет какая-то рыбешка в захудалом озерке. Зависит этот рост не только от того, какое время она прожила, вылупившись из икринки, но и от того, какая была температура воды, сколько и какого было корма, много ли было других рыб в озере, каковы были родители этой рыбы и от многого, многого другого. «Много причин — много следствий»— вот чем отличаются неточные науки от точных. «Проклятие многомерности» — так говорят математики. 

 

Однажды потребовалось решить вопрос о судьбе озера — не вымышленного, а существовавшего в действительности, — населенного рыбами, насекомыми, водорослями. Все живое в этом озере связано друг с другом своими особыми связями. Нужно было создать модель этой сложной системы. В такой модели объединяется и обобщается труд многих исследователей— ботаников, ихтиологов, гидрологов, гидрофизиков, зоологов беспозвоночных, энтомологов и т. д. — в общем всех, кто это озеро изучал. На его берегах жили и вели свои наблюдения ученые многих специальностей. Одной из задач, стоявших перед ними, было сделать верный вывод об эксплуатации озера. Как рациональнее его использовать? 

 

Для ловли и разведения рыбы, для создания на его берегах турбазы или для снабжения какого-нибудь поселка? Объективно и независимо ответ должна была дать ЭВМ, после того как была создана математическая модель этого озера, отражающая в динамике все его особенности, суммирующая наблюдения разных специалистов. 

 

Взвесив все «за» и «против», ЭВМ пришла к несколько неожиданному выводу: не трогать озеро, оставить его таким, какое оно есть... Как-то заметили, что в небольшом водоеме по неизвестным причинам в огромном количестве гибнут мальки. Предположили, что их гибель происходит в результате одной из трех причин: нехватки корма, гибели от паразитов, гибели в результате того, что ими питаются взрослые особи того же вида (в рыбных сообществах известна эта крайняя степень непонимания между «отцами» и «детьми»). Три вероятные причины гибели мальков были выражены математически — была построена математическая модель. ЭВМ, проанализировав все три возможных варианта, ответила, что мальки гибнут от голода. 

 

Так как модель отражала различные сроки развития мальков, то ЭВМ еще показала приблизительно и время, в которое произошла их гибель. Это был вполне конкретный случай, когда модель помогла человеку вмешаться в процесс, происходивший в природе, и подсказала, как и когда можно предотвратить гибель мальков. Наблюдения, проведенные в этом озере, подтвердили верность решения ЭВМ. 

 

Как проверить модель? Действительно ли она соответствует тому, что есть в природе? Прежде чем начать пользоваться моделью, исследователь устраивает ей жесточайший экзамен. Какое-то хорошо изученное поведение объекта тщательно «скрывают» от модели (то есть просто ниспользуют данных об этом яв- лении при ее построении), а потом ставят модель в те условия, при которых исследователь уже знает, как вел себя оригинал. Модель считается верной тогда, когда величины, выбранные в качестве контрольных и не использованные при ее построении, удовлетворительно совпадут в модели и в оригинале. 

 

Математическая модель биологического процесса должна «жить» — отражать свойства живого к самовоспроизведению, приспособляемости к изменениям окружающей среды, к эволюции, иначе это не будет модель живого — ведь, согласно классическому определению, она должна отражать существенные черты оригинала. И она действительно «живет», только в модели нервной клетки, например, тысячные доли секунды оборачиваются минутами, а в модели эволюции животных годы — секундами. 

 

Однажды создавалась математическая модель, которая должна была отразить зависимость жизни колюшки от количества корма и других факторов в озере Дальнем на Камчатке. «Ожив» на ЭВМ, эта модель дала удивительный результат — получалось, что колюшка, размножаясь, буквально до отказа набьет все озеро. Этот результат не соответствовал действительности. Пришлось изменить в модели один из коэффициентов — повысить смертность рыбы. После этого все пришло в норму. 

 

Оказалось, что и на самом деле в озере Дальнем существует причина, повышающая смертность колюшки и не учтенная нами в первоначальном варианте модели, — кишечный паразит. В естественных условиях этот вредный фактор для отдельных рыб служит на пользу всей популяции — благодаря ему происходит регуляция размножения. 

 

Интересные результаты получились, когда в лаборатории решили сделать две модели. Первая должна была отражать борьбу за жизнь колюшки, вторая — осетровой рыбы нерки. Затем было решено «стравить» эти две модели в 

 

ЭВМ, то есть математически представить ситуацию, при которой колюшка и нерка будут бороться за жизнь из-за нехватки корма. Кто из них окажется сильнее? Как они поведут себя в этой борьбе? 

 

Вначале, когда корма было достаточно, обе популяции благоденствовали. Корм убавили — стало меньше и колюшки, и нерки. Когда жить рыбам стало вовсе туго, начались самопроизвольные реэкие колебания численности: то рыбы много, то очень мало. Это явление называется «волнами жизни», на него впервые обратил внимание известный генетик С. С. Четвериков в 1915 г. как на важный фактор эволюции. Так чисто качественная теория получила свое количественное подтверждение на математической модели. Когда корма стало еще меньше, колюшка, чтобы сохранить вид, начала жертвовать поколениями: размножаться не каждый год. Когда еще убавили корм — это привело к гибели обоих популяций. 

 

Метод математического, или кибернетического, эксперимента, широко применяемый при моделировании биологических систем, ставит перед математикой несколько непривычную для нее проблему получения нового знания не путем доказательства теорем, а путем обобщения экспериментальных фактов. М - мелирование биологических процессов не ограничивается только изучением жизни различных популяций рыб в озерах или заливах морей. 

 

Удалось, например, создать модель нервного механизма взлета и посадки саранчи. Путем моделирования была вскрыта схема связей нервных клеток — нейронов в ганглии (нервном узле), заведующем взлетом и посадкой. Представьте, что перед вами транзисторный приемник и вам не разрешили его вскрыть. Вы знаете только, сколько в нем транзисторов, но нужно узнать его схему, не заглядывая внутрь (такая задача в кибернетике называется задачей «черного ящика»). 

 

То же и с саранчой—в электронный микроскоп видно, что в ганглии, управляющем взлетом и посадкой, не то пять нейронов, не то семь, но не больше. На модели были перебраны все возможные допустимые соединения нервных клеток, и наконец была получена единственная схема, которая работала точно так же, как живая саранча: коснешься хвоста — немедленный- взлет; ножки оторвались от земли, но голова не обдувается встречным потоком воздуха (это не полет, а «провокация» со стороны физиологов!)— крылья взмахнут десяток раз и остановятся (нас не проведешь!). И так всевозможные комбинации. В результате при помощи математической модели удалось увидеть то, что не видно в самый сильный электронный микроскоп, — схему соединения нервных клеток. 

 

Как в процессе эволюции появились специализированные клетки и ткани, как менялась форма тела живых существ на Земле? Математическое моделирование открывает реальные возможности сделать и теорию эволюции количественной теорией. «Дарвиновская теория эволюции должна занять подобающее ей место в точном естествознании». 

 

Изучение процесса биологической эволюции всегда представляет трудность. Ведь непосредственно наблюдать его и проводить эксперименты мы не можем. Опыт, накопленный при построении моделей популяций и сообществ водных животных, позволил при моделировании микро- и макроэволюционного процессов (то есть при моделировании процесса эволюции отдельной особи и эволюции биологического целого вида) учесть не только генетическую, но и экологическую сторону разбираемого явления. 

 

У нас была, например, создана математическая модель эволюционного процесса попу- ляции веслоногих ракообразных Copepoda. В ней в качестве среды обитания модельным животным был предложен участок морского побережья, причем была предусмотрена возможность эпизодического выхода на сушу, изобилующую кормом. В модели могли одновременно существовать до ста видов животных, и начальным состоянием во всех случаях было червеобразное животное с одинаковыми члениками, отсутствием конечностей и панциря и примитивной нервной системой. Предусматривалась возможность воздействия хищников на животных, обитающих в водной среде, и тогда преимущества были у тех, кто обладал жестким панцирем. 

 

Наличие развитых клешней также способствовало обороне. Всего в модели учитывалось 48 различных признаков и условий (скорость перемещения 

животного, факторы гибели или процветания вида, возможные изменения члеников или конечностей, способность ползать по грунту или вести прикрепленный образ жизни и т.д. и т.п.). 

 

Первые эксперименты с разработанной моделью проводились в условиях полного отсутствия хищников, изобилия пищи и постоянства внешней среды. Уже на втором десятке временных шагов исходные червеобразные животные, ведущие планктонный образ жизни, начали переходить к обитанию на грунте. Первым устойчивым эволюционным приобретением у них было появление длинных антенн уже к сотому временному шагу (Т=100). Дальше у них появились жвалы, которые потом превратились в клешни.

 

Введенное в качестве внешних условий воздействие хищников существенно изменило протекание эволюционного процесса. Наиболее стойким обязательным признаком модельных животных стало наличие жесткого панциря. Удалось построить четыре варианта эволюционного процесса, протекавшие в одинаковых условиях. В первом темп эволюции был низким и завершился приобретением лишь одной пары ходильных ног, пригодной для перемещения по дну. Во втором темп эволюции — более высокий. У животных появляются антенны («усики»). Они обеспечивают им высокую эффективность поиска пищи. К двухсотому временному шагу появилась тупиковая боковая линия эволюции: животные с телом, почти спрятанным в раковину. Они вымерли, не выдержав конкуренции с теми, которые обладали ходильными ногами. Третий вариант, как и первый, — с замедленным темпом, но с появлением ко времени Т = 200 двух пар антенн, через значительное время замененных клешнями. И наконец, четвертый характерен тем, что в нем на начальной стадии процесса появилось существенное количество малоподвижных форм, которые вымерли, не выдержав конкуренции со свободно передвигающимися. Те, кто в этом варианте выжил, вышли на сушу и имели не три, а четыре пары ходильных ног. 

 

Несмотря на то что пока не удалось построить эволюционное дерево, а лишь одну его ветвь с очень небольшими, быстро отмирающими ответвлениями, эта работа показала реальную возможность имитации макроэволюционного процесса уже на современной вычислительной машине. Стремительное развитие вычислительной техники служит залогом того, что в самом ближайшем будущем станет возможным модельное изучение эволюции гораздо более сложных биологических систем. Так, совместно с доктором биологических наук Б. М. Медниковым нам удалось создать математическую модель эволюции позвоночных животных. 

 

В начале программы, предложенной ЭВМ, в море обитало низшее позвоночное существо, похожее на современного ланцетника, — без черепа, мозга, заботы о потомстве. Предполагалось, что и море, и пресные воды, и суша имели соответствующий запас пищи: растений и членистоногих. 

 

ЭВМ показала, что в результате изменений и отбора из существа, подобного ланцетнику, возникли рыбообразные с челюстями, с хрящевым, а затем и с костным скелетом. Некоторые из них имели панцирь. Те, кто из моря перешел в пресные воды, приобрели иной тип солевого обмена (морские виды в процессе обмена выводят соли, пресноводные — удерживают). По прошествии определенного времени в разнообразных моделях некоторые виды выходили из пресных вод на сушу. Они приобрели ходильные конечности, а в дальнейшем— шерстный покров, становились теплокровными и живородящими. Через определенное количество временных шагов появились активные хищники, лишенные хвоста. Передние конечности у них высвободились для иных функций, и они ходили на двух ногах. 

 

Таким образом, машина может проследить путь от ланцетника до австралопитека или какого-нибудь другого отдаленного предка человека. В принципе реально моделирование в машине и той эволюции, которая ведет к человеку. Однако пока машинной памяти недостаточно для того, чтобы имитировать процесс эволюции, который в действительности мог иметь место в биосфере. Лимитирует и ее быстродействие. Ведь для того чтобы произвести оценку всех особей и всех видов биосферы, требуется большое время. Безусловно, ЭВМ будущего, когда объем информации будет на порядок больше, а быстродействие увеличится до миллионной доли секунды, сможет имитировать любую ситуацию, вплоть до появления сознания.