Истинная и ложная закономерность

Истинная и ложная закономерность

Выдающийся репродуктолог Роберт Уинстон придумал следующее объявление, которое мог бы разместить в газете какой-нибудь беспринципный шарлатан, адресующийся к тем, кто желает, чтобы их следующий ребенок оказался, допустим, мальчиком (я не разделяю сексизма, лежащего в основе этой выдумки, но в древности он был в порядке вещей, да и сегодня много где нередок): 
 
"Пришлите мне 500 фунтов за средство моего собственного изобретения – и у вас родится сын. В случае неудачи деньги возвращу". Гарантия возврата денег дается затем, чтобы методика вызывала доверие. В сущности, поскольку мальчики и так рождаются примерно в 50% случаев, подобная махинация действительно могла бы стать неплохим денежным подспорьем. Мошенник даже мог бы преспокойно выплачивать компенсацию сверх того, что возвращается по гарантии, – скажем, 250 фунтов за каждую родившуюся девочку. И все равно в долгосрочной перспективе его затея оказалась бы выгодным дельцем.
 
В 1991 году я использовал похожую иллюстрацию на одной из своих Рождественских лекций Королевского института. Я заявил, будто у меня есть основания думать, что в зале присутствует экстрасенс и ясновидящий, который одной лишь силой мысли способен влиять на события. Чтобы выяснить, кто же это, я предложил: 
 
"Давайте для начала установим, в какой половине аудитории он сидит", – после чего попросил всех встать, в то время как мой ассистент подбрасывал монету. Тех, кто находился с левой стороны, попросили "внушать" монете, чтобы выпал орел, а все, кто справа, должны были усиленно желать решку. Одна из сторон, понятное дело, проиграла, и ее попросили сесть. Оставшихся опять разделили на две группы: одна заставляла выпасть орла, другая – решку. И снова проигравшие сели. И так далее мы раз за разом вдвое уменьшали количество испытуемых, пока после семи или восьми бросков неизбежно не пришли к тому, что стоять остался только один человек. "Поприветствуем дружными аплодисментами нашего экстрасенса!" А кто же он еще, если не экстрасенс, раз ему удалось благополучно повлиять на монетку восемь раз подряд?
 
Если бы те мои лекции транслировались по телевидению в прямом эфире, а не в записи, этот опыт можно было бы сделать еще эффектнее. Я бы попросил всех телезрителей, чья фамилия начинается на какую-либо букву алфавита от A до J, загадать орла, а всех остальных – решку. Та половина, в которой оказался бы "экстрасенс", была бы снова разделена на двое, и так далее. И каждого я попросил бы записывать порядок своих загадываний. Понадобился бы примерно двадцать один бросок монеты, чтобы из двух миллионов человек, смотревших передачу, остался всего один. Для подстраховки я остановился бы чуть раньше: скажем, на восемнадцатом ходу предложил бы всем, кто еще не вышел из игры, позвонить в студию. Таких было бы уже совсем немного, и, при определенном везении, кто-нибудь позвонил бы. Этого человека попросили бы зачитать свою запись – ОРРРООРООООРРРООРР, – которая совпала бы с нашей. Итак, он сумел повлиять на восемнадцать последовательных подбрасываний монеты! Возгласы восхищения. Но восхищения чем? Ничем, кроме чистейшей случайности. Не знаю, проводился ли подобный эксперимент. На самом деле этот фокус настолько очевиден, что с его помощью мало кого можно было бы одурачить. Ну а как насчет следующего?
 
Известный "экстрасенс" выступает по телевизору: его рекламный агент организовал ему выгодный эфир в обеденное время. Уставившись с десяти миллионов телеэкранов своими гипнотизирующими, искрящимися глазами (мои комплименты гримеру и осветителю), наш воображаемый прорицатель возвещает, будто он чувствует странную духовную связь, вибрирующий отголосок космической энергии, с некоторыми из своих зрителей. И те смогут узнать, что это именно они, потому что сразу же после того, как он закончит произносить свое мистическое заклинание, у них на руке остановятся часы. После совсем недолгой паузы на столе перед ним звонит телефон. Потрясенный голос сообщает через динамики, что часики его обладательницы внезапно остановились сразу же после слов провидца. Еще прежде, чем посмотреть на свои часы, добавляет дозвонившаяся телезрительница, она почувствовала, что это случится, поскольку в горящих глазах ее кумира было нечто, проникавшее прямо к ней в душу. Она ощутила "вибрации" и "энергетику". Не успевает она договорить, как звонит второй телефон. Еще чьи-то часы встали.
 
У третьего позвонившего перестали тикать большие напольные часы, остановить которые было, несомненно, делом более трудоемким – ведь их массивный маятник, естественно, куда менее подвержен воздействию психических сил, чем нежная волосковая пружина наручных часов! У какого-то зрителя часы остановились даже немного раньше, чем прославленный мистик произнес нужные слова, – разве это не еще более впечатляющее проявление духовной мощи? Однако нашлись часы, проявившие даже большую готовность подвергнуться оккультному влиянию. Они остановились ровно за сутки, в тот самый момент, когда их хозяин взглянул на фото нашего знаменитого волшебника в газете.
 
Публика в студии ахает от восхищения. Вот, воистину, экстрасенсорные способности, неуязвимые для скептиков, – ведь это произошло ровно за сутки! "Есть многое в природе, друг Горацио…" 
 
Что нам нужно, так это поменьше ахать и побольше думать. Настоящая глава посвящена тому, как вынуть жало надувательства из случайных совпадений, просто усевшись поудобнее и подсчитав вероятность, с какой то или иное событие могло произойти и без мистического вмешательства. Попутно мы обнаружим, что обезвреживать кажущиеся необъяснимыми совпадения всегда намного интереснее, чем просто ахать и охать при встрече с ними.
 
Иногда такие подсчеты просты. В одной из своих предыдущих книг я выболтал комбинацию цифр кодового замка от моего велосипеда. Мне казалось, что я ничем не рискую, поскольку, понятное дело, человек, способный украсть велосипед, никогда не будет читать мои книги. К сожалению, кто-то его все же украл, и теперь у меня новый замок с новой цифровой комбинацией: 4167. Мне всегда легко ее вспомнить. 41 – это навеки впечатавшийся в память случайно доставшийся мне номер, которым помечали мою одежду и обувь в школе-интернате. А 67 – возраст, в котором я должен буду выйти на пенсию. Очевидно, что никакого интересного совпадения тут нет: каким бы ни оказался код, я, покопавшись в событиях своей жизни, непременно нашел бы мнемонический способ, чтобы удержать цифры в памяти. Но послушайте, что было дальше. В тот самый день, когда были написаны эти строки, мне пришло письмо от моего оксфордского коллеги, сообщавшее, что каждому сотруднику, имеющему право пользоваться копировальной техникой, присваивается персональный код доступа к ней. Ваш новый номер – 4167.
 
Первой моей мыслью было: я непременно потеряю эту бумажку (как это сразу же случилось с ее предшественницей в прошлом году), поэтому нужно как можно скорее придумать какую-нибудь формулу, чтобы сохранить код в своей памяти. Быть может, нечто вроде того мнемонического правила, которым я пользуюсь, чтобы не забыть комбинацию цифр велосипедного замка? Я еще раз посмотрел на письмо, и, воспользуюсь отточенной фразой из научно-фантастического романа Фреда Хойла "Черное облако", цифры, напечатанные на листке бумаги, показались мне выросшими до гигантских размеров: 4167
 
В новом мнемоническом правиле не было необходимости. Код был тот же самый. Я бросился рассказывать жене об этом поразительномсовпадении, но, если трезво рассудить, оно того не стоило. Вероятность, с какой подобное могло произойти по чистой случайности, нетрудно вычислить. Первая цифра могла оказаться любой от 0 до 9. Следовательно, у нее был 1 шанс из 10 оказаться четверкой и совпасть с первой цифрой кода от велосипедного замка. Для каждой из десяти этих возможностей вторая цифра тоже могла оказаться любой от 0 до 9, так что и у нее был 1 шанс из 10 совпасть со второй цифрой заветной комбинации. Получается, что вероятность одновременного совпадения двух этих цифр равна 1/100. Продолжая рассуждать аналогичным образом для двух оставшихся цифр, выясняем: шансы того, что совпадут все четыре, составляют 1 к 10 000. Именно это большое число и защищает нас от велосипедных краж.
 
Совпадение впечатляющее. Но какой отсюда следует вывод? Произошло что-то таинственное и предначертанное свыше? За моей спиной поработали ангелы-хранители? Счастливые звезды подплыли к Урану? Нет. Мы не имеем ни малейшей причины подозревать что-либо, кроме простой случайности. Число людей во всем мире настолько больше 10 000, что прямо сию секунду с кем-нибудь наверняка происходит совпадение как минимум столь же удивительное. Просто так вышло, что ныне пришел мой черед столкнуться с этим явлением. И даже тот факт, что совпадение случилось именно сегодня, когда я писал эту главу, не добавляет произошедшему невероятности. На самом деле черновик главы был закончен мной несколько недель назад. 
 
Сегодня я вернулся к нему после описанного совпадения специально для того, чтобы добавить рассказ об этом занятном эпизоде. Я, несомненно, еще много раз возвращусь к этой главе, буду ее пересматривать и править. И не стану убирать слово "сегодня" – ведь оно было правдой в момент написания. Вот еще один из тех приемов, какими мы обычно пользуемся, чтобы совпадение выглядело значительнее, а наш рассказ о нем – интереснее.
 
Подобные вычисления можно произвести и для телевизионного гуру, якобы останавливавшего людям наручные часы своими психогенными миазмами, только вместо точных чисел здесь нам придется прибегнуть к приблизительным оценкам. Для любых часов существует определенная низкая вероятность остановиться в какой угодно заданный момент. Я не знаю, какова она, но прикинуть ее мы можем следующим образом. Если говорить только об электронных часах, то их батареи хватает где-то на год. Итак, электронные часы останавливаются приблизительно раз в год. 
 
Предположим, что механические часы останавливаются чаще, так как люди периодически забывают заводить их, а электронные встают реже, поскольку иногда людям хватает ума заменить батарейку заранее. И все же, вероятно, часы обеих этих разновидностей встают примерно одинаково часто, поскольку и с теми и с другими случаются всевозможные поломки. В общем, давайте считать, что любые отдельно взятые часы в среднем останавливаются один раз в год. То, насколько наша оценка точна, не слишком-то важно. На сам принцип рассуждений это не влияет.
 
Если бы у кого-нибудь часы встали через три недели после произнесенного заклинания, то даже самые легковерные предпочли бы отнести это на счет случайности. Нам необходимо установить такой временной промежуток, который публика сочла бы в достаточной мере совпадающим с предсказанием, чтобы оно могло произвести должное впечатление. Об интервале, примерно равном пяти минутам, мы вправе говорить с абсолютной уверенностью – особенно если учесть, что экстрасенс может уделять каждому позвонившему по несколько минут, а значит, следующий звонок будет казаться сделанным приблизительно в то же время. Год состоит примерно из 100 000 пятиминутных отрезков.
 
Вероятность того, что чьи-то конкретные часы – скажем, мои – остановятся в течение определенных пяти минут, равна 1/100 000. Шансы невелики, но передачу-то смотрят 10 000 000 человек. Если часы носит только половина из них, то "в любой момент" часы могут встать примерно у 50 зрителей. Пускай из этих зрителей позвонит всего четверть, уже получится 12 звонков – более чем достаточно, чтобы ошеломить наивную аудиторию. Особенно если прибавить сюда звонки тех, чьи часы остановились на сутки раньше; тех, у кого встали не наручные, а напольные часы; тех, кто умер от сердечного приступа и чья осиротевшая родня позвонила сообщить, что сердце их дорогого усопшего "перестало тикать"; и так далее. Подобного рода совпадение воспето в восхитительно сентиментальной старинной песне "Дедушкины часы":
 
Девяносто лет тикали,
Тик-так, тик-так,
Не ленились, не хныкали,
Тик-так, тик-так.
Но вдруг… Стоп!.. Замерли навсегда,
Когда умер дед.
 
В лекции, прочитанной в 1963 году и опубликованной посмертно в 1998-м, Ричард Фейнман рассказывает, что его первая жена умерла в 9 часов 22 минуты вечера, а позже в ее комнате были найдены часы, остановившиеся точно на отметке 9:22. Найдутся такие, кто будет упиваться этим якобы таинственным совпадением и сочтет, что Фейнман, давая загадке простое рациональное объяснение, лишает себя чего-то ценного. Часы были старые, часто барахлили и имели свойство останавливаться, если наклонить их горизонтально. Фейнману самому не раз приходилось их чинить. Когда миссис Фейнман умерла, обязанностью сиделки было зафиксировать точное время смерти. Она повернулась к часам, но на них падала густая тень, тогда она взяла их в руки и наклонила к свету… Часы встали. Действительно ли Фейнман портит нечто прекрасное, когда предлагает нам несомненно правдивое, а также очень простое объяснение? Кому угодно, только не мне! Я считаю, что он утверждает изящество и красоту упорядоченной вселенной, в которой часы не останавливаются без причины – просто ради того, чтобы пощекотать людскую чувствительность.
 
Теперь я хочу ввести некий рабочий термин. Надеюсь, вы простите мне акроним СоСоПоСо – Совокупность Событий, Похожих на Совпадение. Слово "совокупность" может показаться здесь неуместным, но это точное статистическое понятие. Не буду дальше использовать заглавные буквы – они так уродуют внешний облик страницы. Если через десять секунд после заклинания нашего прорицателя у кого-нибудь встанут часы, это событие, очевидно, войдет в состав сосопосо, как и множество других событий. Строго говоря, остановка напольных часов сюда не относится.
 
Ясновидец говорил только о своей способности останавливать часы, надетые на руку. Однако когда чьи-то напольные часы встали, их владелец тем не менее позвонил в студию, поскольку это событие, если уж на то пошло, впечатляет даже больше, чем остановка наручных часов. Таким образом, поощряется странное ошибочное представление, будто экстрасенс даже еще могущественнее, раз он ни словом не обмолвился о том, что умеет останавливать не только наручные, но и напольные часы. Также он не упомянул ни о часах, остановившихся на сутки раньше, ни о стариках, чье сердце затихло навеки.
 
У людей возникает ощущение, что эти непредвиденные события принадлежат сосопосо. В их глазах все выглядит так, будто здесь не обошлось без мистических сил. Но как только вы начинаете рассуждать подобным образом, сосопосо существенно увеличивается – в этом-то и подвох. Если ваши часы остановились ровно на сутки раньше, вам не нужно быть чрезмерно доверчивым, чтобы включить это событие в сосопосо. Если чьи-нибудь часы остановятся ровно за семь минут до произнесения заклинания, некоторых это впечатлит, поскольку 7 – древнее магическое число. Это же объяснение, по-видимому, сгодится и для семи часов, и для семи дней… Чем больше сосопосо, тем меньше следовало бы изумляться совпадениям. Один из приемов удачливого мошенника в том и состоит, чтобы убедить людей в обратном.
 
Кстати говоря, я специально придумал для своего вымышленного экстрасенса более впечатляющий трюк, чем тот, что в действительности проделывают с часами на телевидении. Чаще используемаяуловка: запускать часы, которые встали. Телезрителям предлагается подняться и достать из шкафа или принести с чердака сломанные часы, а затем подержать их перед экраном, пока ясновидец произносит какие-нибудь заклинания или гипнотически вращает глазами. На самом деле происходит вот что: тепло рук растапливает застывшую смазку часового механизма – и тот начинает тикать, хоть бы и ненадолго. Даже если такое бывает только в небольшом проценте случаев, эта доля, будучи помножена на огромную аудиторию, породит достаточное количество звонков от ошеломленных зрителей. Как разъясняет Николас Хамфри в своем великолепном разоблачительном исследовании сверхъестественного "Поиски души" (1995 г.), показано, что более половины всех сломанных наручных часов запускаются – хотя бы на минуту, – если просто подержать их в руке.
 
А вот другой пример совпадения, вероятность которого нетрудно подсчитать. Мы воспользуемся им, чтобы увидеть, насколько сильно шансы зависят от размера сосопосо. Некогда я встречался с девушкой, родившейся в один день (хотя и в разные годы) с моей предыдущей подружкой. Она рассказала об этом своей знакомой, верившей в астрологию, и та торжествующе вопросила, чем же я теперь смогу обосновать свой скептицизм перед лицом столь ошеломляющего доказательства: ведь я два раза подряд неосознанно выбирал себе спутницу "по звездам". И вновь я призываю вас обдумать ситуацию хладнокровно. Подсчитать шансы того, что у двух совершенно случайно выбранных людей окажется один и тот же день рождения, совсем не сложно. В году 365 дней. Когда бы ни был день рождения у одного человека, вероятность того, что другой родился в тот же день календаря, равна 1/365 (оставим високосные годы в стороне). Если мы будем объединять людей в пары по какому угодно признаку – например, возьмем двух сменивших одна другую подружек некоего мужчины, – то 1 шанс из 365, что у них окажется общий день рождения. Если взять 10 миллионов мужчин (меньше, чем население Токио или Мехико), это с виду необъяснимое совпадение произойдет более чем с 27 000 из них!
 
А теперь давайте посмотрим, насколько менее впечатляющим становится такое совпадение по мере увеличения сосопосо. Существует множество других способов объединять людей в пары и каждый раз обнаруживать нечто похожее на совпадения. Например, две подружкиподряд с одинаковой фамилией и при этом не родственницы. В ту же сосопосо попадают и два партнера по бизнесу с одинаковыми днями рождения, и два соседа по самолету. Однако вероятность того, что в заполненном "Боинге-747" хотя бы у одной пары соседей дни рождения совпадают, выше 50%. Обычно мы не обращаем на это внимания, поскольку не заглядываем друг другу через плечо при заполнении этих занудных миграционных карт. В противном случае почти после каждого перелета кто-нибудь из пассажиров уходил бы, мрачно бормоча себе под нос что-нибудь об оккультных силах.
 
Парадокс с совпадающими днями рождения лучше преподносить в другой, более красочной форме. Математически можно доказать, что если в одной комнате соберутся всего-навсего 23 человека, то с вероятностью более 50% дни рождения совпадут хотя бы у двух из них. Два читателя чернового варианта моей книги попросили меня обосновать это поразительное заявление. Здесь проще будет рассчитать вероятность того, что ничьи дни рождения не совпадут, а потом вычесть ее из единицы. Забудем про високосные годы – с ними куча возни, которой они совершенно не стоят. Допустим, я побьюсь с вами об заклад, что в комнате, где находятся 23 человека, как минимум двое родились в один день. А вы – просто для удобства наших рассуждений – поставите на то, что дни рождения ни у кого совпадать не будут. Чтобы выяснить, кто прав, мы будем собирать данные от каждого из 23 испытуемых поочередно: пусть в комнате изначально находится только один человек, а остальные добавляются друг за другом. Если в какой-то момент обнаруживается совпадение, то я выигрываю пари и мы заканчиваем игру, не интересуясь оставшимися участниками эксперимента. Если же мы добираемся до двадцать третьего человека, а совпадения по-прежнему нет, выигрываете вы.
 
Пока в комнате присутствует только один испытуемый – назовем его испытуемым А, – вероятность того, что "совпадения по-прежнему нет", равна, очевидно, 1 (365 шансов из 365). Затем появляется второй человек – Б. Теперь вероятность совпадения составляет 1/365. Следовательно, после прихода Б вероятность того, что "совпадения по-прежнему нет", будет равняться 364/365. Теперь пригласим еще одного, третьего, испытуемого – В. 1 шанс из 365, что его день рождения совпадет с днем рождения А, и 1 шанс из 365 – что он совпадет с днем рождения Б. Таким образом, вероятность того, что В не совпадает по дню рождения ни с А, ни с Б, будет равна 363/365 (совпасть сразу и с тем и с другим он не может, так как мы уже знаем, что А и Б родились в разные дни). Чтобы подсчитать общую вероятность того, что совпадения к этому моменту так и не обнаружится, надо взять этот результат 363/365 и помножить его на результаты предыдущих вычислений – в данном случае на 364/365. Точно такие же рассуждения применимы и по отношению к четвертому вошедшему – Г. Теперь общая вероятность того, что "совпадения по-прежнему нет", составляет 364/365 X 363/365 X 362/365. И так далее – пока все 23 человека не окажутся в комнате. 
 
Каждый новый участник добавляет очередной множитель к нашему удлиняющемуся произведению, значение которого равняется вероятности того, что "совпадения по-прежнему нет". Если перемножить все эти 22 дроби (вы дойдете по нисходящей до 343/365), получится около 0,49. Такова вероятность, что ни у кого из находящихся в комнате людей дни рождения не совпадают. Выходит, вероятность того, что хотя бы двое из 23 собравшихся отмечают день рождения одновременно, слегка переваливает за 1/2. Интуиция большинства людей посоветовала бы ставить против такого совпадения.
 
Но это было бы ошибкой. Именно такие интуитивные ошибки и сбивают нас с толку, когда мы характеризуем совпадения как "необъяснимые". Вот пример реально случившегося совпадения, шансы которого мы можем попытаться приблизительно оценить (хоть это и будет чуть-чуть труднее). Однажды моя жена купила своей матери в подарок красивые антикварные часики с розовым циферблатом. Принеся их домой и отодрав ценник, она с изумлением обнаружила, что на обратной стороне выгравированы инициалы ее матери – M. A. B. Сверхъестественно?  Жутковато? Мурашки по спине? Знаменитый романист Артур Кёстлер углядел бы в этом массу скрытого смысла. Равно как и Карл Густав Юнг – повсеместно восхваляемый психолог, который придумал "коллективное бессознательное", а также верил, что при помощи психических сил можно заставить ни с того ни с сего с грохотом взорваться нож или книжный шкаф. Моя жена, будучи более здравомыслящей, просто нашла это совпадение инициалов чрезвычайно удачным и достаточно занятным для того, чтобы рассказать о нем мне, благодаря чему я сейчас делаю этот случай достоянием более широкой аудитории.
 
Так какова же в действительности вероятность столь впечатляющего совпадения? Подсчитаем ее для начала незамысловатым способом. В английском алфавите 26 букв. Если инициалы вашей матери состоят из трех букв и вам попадутся часы, на которых выгравированы три случайные буквы, то вероятность совпадения одних инициалов с другими составит 1/26 X 1/26 X 1/26, иначе говоря, 1/17 576. В Британии около 55 миллионов жителей. Если каждый из них приобретет старинные часики с гравировкой, то можно ожидать, что более 3 000 человек изумленно вскрикнут, обнаружив, что инициалы их матерей уже были начертаны на покупке.
 
Но на самом-то деле шансы еще выше. В своих бесхитростных расчетах мы исходили из неверного допущения, будто любая буква может с вероятностью 1/26 быть чьим-то инициалом. Такова вероятность по алфавиту в среднем, но для некоторых букв – например, для X или Z – она меньше. Другие буквы – в том числе M, A и B – распространены более широко. Подумайте, насколько сильнее мы впечатлились бы, если бы совпавшими инициалами оказались X. Q. Z. Мы можем улучшить свою оценку шансов, взяв выборку из телефонного справочника. Анализ выборок – приемлемая методика, когда нужно прикинуть количество того, что нельзя сосчитать напрямую. Телефонная книга Лондона нам прекрасно подойдет: во-первых, она большая, а во-вторых, именно в Лондоне моя жена купила часы для своей матери, проживающей там же.
 
Имена частных лиц занимают в этом справочнике около 85 060 дюймов, или около 1,34 мили, столбцов. 8110 дюймов из них занимают фамилии на букву B. Иначе говоря, примерно у 9,5% лондонцев фамилия начинается на B, что намного больше значения для  среднестатистической буквы алфавита, равного 1/26, то есть 3,8%. Итак, вероятность того, что фамилия случайно взятого лондонца начинается на B, приблизительно равна 0,095 (9,5%). А как насчет соответствующих вероятностей для имен, начинающихся на M и на A?
 
Подсчитывать инициалы по всей телефонной книге слишком долго, да и бессмысленно, так как справочник и сам по себе лишь некая выборка. Проще всего будет найти в этой выборке такую подгруппу, где первые буквы имен удобно расположены в алфавитном порядке. Это справедливо для перечня лиц с одной и той же фамилией. Возьмем фамилию Смит, самую распространенную в Англии, и посмотрим, какую долю среди всех Смитов занимают М. Смиты и А. Смиты. Можно не без оснований надеяться, что это будет неплохо отображать распределение начальных букв в именах всех лондонцев вообще. Оказывается, столбцы со Смитами занимают заметно больше 20 ярдов. 0,073 от этого числа (или 53,6 дюйма столбцов) посвящено М. Смитам. В то время как А. Смиты занимают 74,9 дюйма столбцов, составляя 0,102 части всех Смитов, вместе взятых.
 
Следовательно, если вы живете в Лондоне и ваши инициалы состоят из трех букв, то вероятность того, что это M. A. B. (именно в таком порядке), равняется примерно 0,102 X 0,073 X 0,095, то есть около 0,0007. А поскольку в Британии 55 миллионов жителей, больше 38 000 человек будут обладать инициалами M. A. B., при условии, разумеется, что у каждого из этих 55 миллионов инициалы состоят из трех букв. Конечно, не у всех инициалы трехбуквенные, но, еще раз проглядев телефонный справочник, легко убедиться, что у большинства. Даже если исходить из самой скромной оценки, что только у половины британцев инициалы состоят из трех букв, все равно получится, что инициалы более 19 000 человек совпадают с инициалами матери моей жены. Любой из этих 19 000 мог купить те же самые часы и вскрикнуть, изумившись совпадению.
 
Наши расчеты показали, что никакого повода для крика тут нет. А на самом деле, если мы крепко поразмыслим насчет сосопосо, то обнаружим, что причин для изумления у нас и того меньше. Инициалы M. A. B. соответствовали девичьей фамилии матери моей жены. Будь на часах выгравировано M. A. W. – ее инициалы после замужества, – это показалось бы нам столь же впечатляющим. Фамилий, начинающихся на W, в телефонной книге примерно столько же, сколько и на B. Это обстоятельство в два раза увеличивает сосопосо, удваивая и количество жителей нашей страны, у которых – с точки зрения тех, кто охоч до совпадений, – "такие же" инициалы, как и у матери моей жены. Более того, если бы какая-нибудь дама купила часики и обнаружила на них свои собственные инициалы, а не инициалы своей матери, она, вероятно, сочла бы такое совпадение еще более примечательным и достойным того, чтобы включить его в сосопосо (чьи размеры все растут и растут).
 
Как я уже отметил, покойный Артур Кёстлер очень увлекался совпадениями. Среди случаев, пересказанных им в своей книге "Истоки совпадения" (1972 г.), некоторые изначально были собраны его кумиром – австрийским биологом Паулем Каммерером (прославился тем, что опубликовал сфальсифицированные результаты опыта, якобы доказывавшего "наследование приобретенных признаков" у жабы-повитухи). Вот типичная история от Каммерера из тех, что приводит Кёстлер:
 
18 сентября 1916 года моя жена, ожидая своей очереди в приемной проф. д-ра Й. ф. Х., читает журнал Die Kunst. Ее внимание привлекают несколько репродукций картин художника Швальбаха, и она мысленно отмечает, что надо запомнить это имя, поскольку ей захотелось увидеть оригиналы. В этот момент открывается дверь, и секретарь обращается к пациентам: "Здесь ли фрау Швальбах? Ее зовут к телефону". Пытаться оценить вероятность такого совпадения, наверное, не стоит, но мы можем по крайней мере изложить некоторые соображения. "В этот момент открывается дверь" – звучит несколько расплывчато. Она открылась через одну секунду после того, как жена Каммерера сказала себе, что стоит посмотреть на картины Швальбаха, или же через двадцать минут? Насколько длинным мог быть этот промежуток времени, чтобы совпадение все еще удивило ее? Распространенность фамилии Швальбах тоже, очевидно, имеет значение: мы были бы впечатлены куда меньше, будь то Шмидт или Штраус, и больше, окажись это Туислтон-Уикэм-Файнз или Нэтчбулл-Хьюджессен. В ближайшей к моему дому библиотеке не нашлось венской телефонной книги, но, если заглянуть в справочник другого крупного немецкоговорящего города – Берлина, – можно насчитать с полдюжины Швальбахов; таким образом, фамилия эта не слишком распространенная и удивление дамы объяснимо. Но нам снова следует задуматься о масштабах сосопосо.
 
Подобные совпадения могли произойти и в других приемных: у дантистов, у чиновников и так далее, причем не только в Вене, но и где угодно еще. Число, которое нужно держать в голове, – это количество возможностей для тех совпадений, которые, произойди они на самом деле, показались бы столь же примечательными, как и то событие, что действительно имело место.
 
Возьмем другую разновидность совпадений, где даже еще труднее подступиться к вычислению вероятности. Вспомните часто упоминаемые случаи, как кто-то впервые за много лет увидел во сне старого знакомого, а назавтра ни с того ни с сего получил от него письмо. Или узнал, что в ту же ночь он умер. Или что в ту ночь умер не сам этот знакомый, а его отец. Или что его отец не умер, а сорвал куш на футбольном тотализаторе. Чувствуете, как бесконтрольно растет сосопосо, стоит нам только ослабить бдительность?
 
Зачастую такие истории о совпадениях собираются с большой территории. В популярных газетах рубрика писем в редакцию содержит послания от читателей, которые взялись за перо только по той причине, что с ними произошло поразительное совпадение. Прежде чем решить, поражаться или нет, нам следует выяснить тираж газеты. Если он составляет четыре миллиона экземпляров, то было бы удивительно не читать ежедневно о каком-нибудь ошеломляющем совпадении, поскольку такому совпадению достаточно случиться с одним из четырех миллионов человек, чтобы мы уже почти наверняка узнали об этом из газеты. Подсчитать, какова вероятность того, что с одним человеком произойдет некое конкретное совпадение – например, что давно позабытый нами старый приятель умрет в ту самую ночь, когда мы вдруг увидим его во сне, – довольно сложно. Но какова бы ни была эта вероятность, она, несомненно, намного выше одной четырехмиллионной.
 
Итак, когда мы читаем в газете о совпадении, случившемся с одним из читателей или просто с кем-нибудь где-то в мире, тут на самом деле нет ничего впечатляющего. Этот аргумент, направленный против беспричинного изумления, совершенно правомерен и обоснован. Тем не менее здесь, возможно, все еще кроется повод для беспокойства. Вы можете сколько угодно соглашаться с тем, что с точки зрения читателя газеты с миллионными тиражами у нас нет никаких причин удивляться совпадению, которое произошло с другим читателем, не поленившимся написать об этом в редакцию. Но когда совпадение случается непосредственно с вами, остановить пробегающий по спине благоговейный холодок куда труднее. И это не просто личная предвзятость. Такую позицию можно убедительно обосновать. Это чувство знакомо практически всем, кого я знаю; спросите любого случайного встречного – почти наверняка у него в памяти отыщется хотя бы один пример весьма невероятного совпадения, чтобы рассказать вам. На первый взгляд, это обесценивает скептическое утверждение о том, будто газетные истории собираются с многомиллионной читательской массы – гигантского полигона для стечения всевозможных обстоятельств.
 
В действительности же никакого обесценивания тут нет, и вот по какой причине. Каждый из нас, пусть и являясь отдельным индивидуумом, представляет тем не менее очень большую совокупность возможностей для совпадения. Всякий обычный день, проживаемый мною или вами, – непрерывная череда событий, или обстоятельств, и с любыми из этих обстоятельств может произойти стечение. В настоящий момент я разглядываю висящую на моей стене фотографию глубоководной рыбы, похожей на очаровательного инопланетянина. Вполне возможно, что прямо сейчас, в этот самый момент, мой телефон зазвонит – и человек на том конце провода представится как мистер Фиш. Жду…
 
Никто не позвонил. Что я пытаюсь объяснить: чем бы мы ни были заняты в любую конкретную минуту, всегда может произойти такое событие, которое задним числом будет расценено как таинственное совпадение. Жизнь каждого из нас состоит из стольких минут, что было бы весьма странно встретить человека, ни разу не сталкивавшегося с поразительным стечением обстоятельств. Прямо сейчас, сию минуту, мои мысли набрели на одноклассника по фамилии Хэвиленд (не помню ни его имени, ни внешности), которого я не видел и не вспоминал сорок пять лет. Если за моим окном в данную секунду пролетит самолет компании "Де Хэвиленд", совпадение будет налицо. Должен сообщить, что никакого такого самолета не появилось, но теперь я задумался о чем-то другом, что дает новую возможность для совпадений. Таким образом, возможности для совпадений подворачиваются нам безостановочно изо дня в день. Но случаи отрицательных примеров – когда совпадений не происходит – мы не замечаем и не рассказываем о них.
 
Наша склонность видеть в совпадениях смысл и систему независимо от того, значат они что-нибудь на самом деле или нет, – часть более общей тенденции отыскивать закономерности. Эта привычка похвальна и полезна. Многие события и особенности мироустройства действительно взаимосвязаны не случайным образом, и умение распознавать эти  взаимосвязи ценно – как для нас, так и для животных вообще. Сложность состоит в том, чтобы проскочить между Сциллой обнаружения кажущейся закономерности там, где ее нет, и Харибдой игнорирования реально существующей закономерности. Такая наука, как статистика, в значительной степени посвящена именно этому непростому лавированию. Но еще задолго до того, как статистические методы были разработаны во всей своей математической строгости, люди (а также другие животные) были довольно неплохими интуитивными статистиками. Тем не менее легко совершить ошибку как в том, так и в другом направлении.
 
Вот несколько примеров статистически достоверных природных закономерностей, которые не вполне очевидны и людям были известны не всегда.
 
истинная закономерность
 
А вот примеры ложных закономерностей, которые люди ошибочно считали установленными.
 
ложные закономерности
 
Мы не единственные из животных, кто выявляет статистические закономерности в природе. И не единственные из животных, кто совершает такие ошибки, которые можно назвать суевериями. Оба эти факта были ясно продемонстрированы с помощью устройства, называемого скиннеровской камерой – по имени прославленного американского психолога Бёрреса Фредерика Скиннера. Скиннеровская камера – это простое, но удобное приспособление, предназначенное для психологических опытов, ставящихся обычно на крысах или голубях. Она представляет собой ящик со встроенным в одну из стенок переключателем (иногда несколькими), на который голубь, к примеру, может нажимать клювом. Также там имеется механизм выдачи пищи (или какого-то другого вознаграждения), приводимый в действие электричеством. Он соединен с переключателем так, чтобы голубь, клюя переключатель, мог как-то влиять на выдачу корма. В самом простом случае каждый раз, ударив клювом по переключателю, птица получает еду. Голуби быстро обучаются выполнять это задание. Равно как и крысы, и (в соответствующим образом расширенных и упрочненных скиннеровских камерах) свиньи.
 
Мы-то знаем, что причинно-следственная связь между клеванием и кормежкой обеспечивается электрическим прибором, но голубю об этом не известно. С его точки зрения клевать переключатель – то же, что исполнять танец дождя. Кроме того, эта связь может быть довольно слабой, статистической. Прибор можно настроить таким образом, чтобы вознаграждение давал не просто не каждый клевок, а только один из десяти. Это может означать в буквальном смысле каждый десятый удар клювом. Или же, если запрограммировать аппарат иначе, в среднем будет вознаграждаться один клевок из десяти, но то, сколько раз надо клюнуть в каждом конкретном случае, определяется случайным образом. Или же какой-нибудь часовой механизм может отслеживать, чтобы в среднем в течение одной десятой от общего времени клевки вознаграждались, но невозможно было предугадать, когда именно наступают такие периоды и сколько длятся. Голуби и крысы научаются нажимать на переключатель даже в тех случаях, когда нам может показаться, что для выявления причинно-следственной связи требуется быть весьма квалифицированным статистиком. Они умеют прилаживаться и к таким схемам эксперимента, в которых только очень малая доля нажатий приводит к получению награды. Любопытно, что привычки, выработанные в условиях, когда клевки вознаграждаются не каждый раз, а время от времени, устойчивее: голубь дольше не оставляет попытки клевать переключатель после того, как аппарат отключат совсем. Если подумать, то интуитивно можно почувствовать в этом логику.
 
Итак, голуби и крысы – хорошие специалисты по статистике, способные улавливать слабые вероятностные закономерности, которыми испещрена их жизнь. Можно предположить, что в природе эта способность нужна им не меньше, чем в скиннеровской камере. Свободная жизнь полна закономерностей; мир – это огромный, сложно устроенный ящик Скиннера. Действия дикого животного нередко приводят к поощрениям, наказаниям и другим важным для него событиям. И связь между причиной и следствием зачастую не безусловная, а статистическая. Когда кроншнеп зондирует ил своим длинным изогнутым клювом, у него есть определенный шанс наткнуться на червя. Взаимосвязь между пробой грунта и отыскиванием червяка статистическая, но реальная. Целое исследовательское направление по изучению животных выросло из так называемой теории оптимального фуражирования. Дикие птицы демонстрируют довольно тонко отлаженные способности статистически оценивать, насколько богаты кормом различные территории, и распределять свое время между ними в соответствии с этой оценкой.
 
Но вернемся в лабораторию. Скиннер основал крупную научную школу, использующую скиннеровские камеры для разнообразных, точно и подробно формулируемых целей. И вот в 1948 году он впервые испробовал блистательную модификацию своей стандартной методики. Он настроил прибор таким образом, чтобы тот время от времени "вознаграждал" голубя независимо от действий птицы. Теперь все, что голубям следовало делать, – это расслабиться и спокойно ждать вознаграждения. Но в действительности они вели себя иначе. Вместо этого в шести из восьми случаев они выработали у себя (в точности так же, как если бы это был полезный навык, приобретенный путем научения) то, что Скиннер назвал "суеверным" поведением. Каждая птица делала что-то свое. Один голубь между "наградами" волчком крутился на месте, то и дело совершая два-три поворота против часовой стрелки. Другой часто тыкался головой в один и тот же верхний угол ящика. Третий совершал своеобразные броски, как бы поднимая головой невидимую занавеску. Еще два независимо друг от друга выработали у себя привычку маятникообразно раскачиваться из стороны в сторону.
 
Кстати, это, должно быть, здорово напоминало брачный танец некоторых райских птиц. Скиннер использовал слово "суеверие", поскольку голуби вели себя так, будто думали, что поведение, к которому они приучились, оказывает какое-то причинное влияние на механизм вознаграждения, чего на самом деле не было. Это был птичий эквивалент танца дождя. Раз сформировавшись, суеверный навык мог сохраняться в течение многих часов – долгое время после того, как механизм вознаграждения был выключен. Однако форма выражения этих привычек не оставалась неизменной. Она плавно преобразовывалась, подобно следующим одна за другой импровизациям органиста. В одном из типичных случаев суеверное поведение поначалу представляло собой резкое движение головой из центрального положения влево. С течением времени оно становилось все более энергичным. В конце концов в него оказалось вовлечено все туловище птицы – так что ей приходилось делать два-три шага в направлении движения. По прошествии многих часов такого "топографического дрейфа" это шагание влево стало преобладающим элементом ритуала. Сами по себе суеверные повадки берутся, по-видимому, из обычного поведенческого репертуара, свойственного данному виду, однако мы можем с полным правом утверждать, что проявлять их в таком контексте и с такой частотой для голубей неестественно.
 
Суеверные голуби Скиннера вели себя как статистики, но статистики заблуждающиеся. Они тщательно выискивали возможные взаимосвязи между происходящими в их мире событиями – в особенности между действиями, которые было в их силах совершить, и желанными наградами. Привычка вроде засовывания головы в верхний угол ящика возникла случайно. Просто так вышло, что птица делала именно это в тот момент, когда механизм выдачи вознаграждения сработал. И вполне можно понять голубя, если он счел за предварительную гипотезу, что между этими двумя событиями была какая-то связь. Итак, птица снова сунула голову в тот же самый угол. Наверняка по чистому везению скиннеровский таймер опять сработал, выдав очередную награду. Если бы голубь попробовал провести эксперимент по незасовыванию головы в угол, то выяснил бы, что вознаграждение все равно выдается. Но чтобы додуматься до такого опыта, ему нужно было быть более толковым и скептичным статистиком, чем большинство из нас, людей.
 
Скиннер проводит сравнение с теми "ритуальчиками", которые вырабатывают у себя игроки в карты. Также подобное поведение – нередкое зрелище на лужайках для игры в шары. Как только "вудс" (шар) брошен, игрок уже никак не может поспособствовать его движению в сторону "джека" (шара-мишени). Тем не менее большинство опытных игроков в боулз семенят за своим вудсом, часто оставаясь в согнутом положении и извиваясь всем телом, как будто тщетно силясь передать указания уже неподвластному им шару, и подбадривают его бесполезными словами. "Однорукие бандиты" в Лас-Вегасе – это не что иное, как скиннеровские камеры для людей. "Клевание переключателя" в данном случае состоит в том, чтобы дернуть за рычаг, а также, разумеется, бросить монету в прорезь автомата. Эта игра дурацкая во всех смыслах слова, поскольку шансы выигрыша заведомо подтасованы в пользу казино – иначе как бы оно оплачивало свои огромные счета за электричество? Но то, выпадет ли джекпот в каждом конкретном случае, когда человек дергает за рычаг, определяется случайным образом – благодатная почва для возникновения суеверных привычек. И действительно, наблюдая за заядлыми игроками в Лас-Вегасе, вы увидите движения, которые живо напомнят вам о суеверных голубях Скиннера. Одни будут разговаривать с игровым автоматом. Другие – делать ему пальцами забавные знаки или гладить и похлопывать его ладонью. Однажды, похлопав по нему, они сорвали банк и теперь не могут забыть об этом. Мне приходилось видеть, как люди, страдающие компьютерной зависимостью, вели себя сходным образом, когда нетерпеливо ожидали ответа сервера: к примеру, постукивали костяшками пальцев по разъему провода.
 
Женщина, у которой я позаимствовал пример с Лас-Вегасом, также провела неформальное исследование лондонских букмекерских контор. Она рассказывала, как некий игрок, сделав ставку, обычно бежал к определенной плитке на полу и стоял там на одной ноге, следя за ходом скачки по телевизору. Вероятно, однажды он выиграл, стоя на этой плитке, и вбил себе в голову, будто тут была причинная связь. Теперь, когда кто-нибудь стоит на "его" счастливой плитке (некоторые игроки делают это специально – возможно, чтобы забрать себе часть его "удачи" или же просто позлить его), он прыгает вокруг, отчаянно пытаясь коснуться этой плитки ногой до окончания скачки. Бывают игроки, которые отказываются менять рубашку или стричься, пока у них идет "полоса везения". А один ирландский игрок, обладатель пышной шевелюры, наоборот, побрился наголо, лишь бы переломить судьбу. Он исходил из гипотезы, что раз ему не везет с лошадьми и у него много волос, то это как-то связано. Быть может, оба эти факта – составные звенья какой-то осмысленной системы?! Прежде чем переполняться чувством собственного превосходства, давайте-ка вспомним, что очень многих из нас приучали верить, будто судьба Самсона резко переменилась после того, как Далила остригла ему волосы.
 
Как распознать, какие из кажущихся закономерностей подлинны, а какие – случайность и бессмыслица? Для этого существуют специальные методы, и относятся они к таким областям знания, как статистика и планирование эксперимента. Я бы хотел уделить еще немного времени некоторым из принципов статистики, хотя и без подробностей. Статистику можно в значительной мере воспринимать как искусство отличать закономерности от случайностей. Случайность по определению означает отсутствие закономерности. Есть много способов разъяснить суть этих двух понятий. Предположим, я заявлю, что способен отличить почерк девочки от почерка мальчика. Если я говорю правду, это должно означать, что существует некая реальная взаимосвязь между полом и почерком. Скептик мог бы усомниться в этом, утверждая, что почерк варьирует от человека к человеку, но с полом это разнообразие никак не связано. Как вы определите, кто прав – я или скептик? На мое слово полагаться не стоит. Я мог, подобно суеверному игроку из Лас-Вегаса, принять несколько удачных угадываний подряд за настоящее, воспроизводимое умение. Как бы то ни было, вы имеете полное право требовать доказательств. 
 
Какого рода доказательства могли бы вас удовлетворить? Правильный ответ: публично собранные и должным образом проанализированные.
 
В любом случае мое заявление – не более чем статистическое. Я не претендую (имеется в виду, в данном гипотетическом примере; в реальности я вообще ни на что не претендую) на то, что по любому рукописному фрагменту смогу безошибочно определить пол его автора. Я утверждаю только, что некоторый компонент существующего громадного разнообразия почерков коррелирует с полом.
 
Следовательно, если вы дадите мне, скажем, сто образцов почерка, я, хоть и буду часто ошибаться, все же смогу разделить их на мальчишеские и девичьи более точно, чем это можно сделать, действуя исключительно наугад. Таким образом, чтобы дать оценку моему утверждению, вам следует вычислить вероятность, с какой тот или иной результат мог бы получиться путем случайного угадывания. Вновь нам предстоит поупражняться в подсчете шансов на совпадение. Прежде чем перейти к статистике, вы должны будете принять некоторые меры предосторожности при планировании эксперимента. Искомая закономерность, то есть неслучайность, – это взаимосвязь почерка с полом. Надо, чтобы в изучение этого вопроса не вклинились посторонние факторы. Например, те образцы почерка, которые вы мне дадите, не должны быть личными письмами. Мне будет намного проще угадать пол того, кто их писал, по содержанию, а не по почерку. Не должно оказаться и так, что все девочки – из одной школы, а мальчики – из другой. Учащиеся одной и той же школы могут иметь общие особенности почерка, перенятые ими как друг у друга, так и у учителя. В результате действительно обнаружатся различия в почерке, и даже интересные, но они будут характеристикой разных школ, и только по случайности – еще и разных полов. И не просите детей переписать отрывок из их любимой книги. На мое решение повлиял бы выбор "Черного красавчика" или "Бигглза" (читатели, росшие на других детских книгах, нежели я, заменят эти заголовки примерами, характерными для их культурной среды).
 
Очевидно также, что среди детей не должно быть моих знакомых, – в противном случае я могу узнать их почерк, а следовательно, и пол. На бумагах, которые вы мне дадите, нельзя будет указывать имен, но при этом вам понадобится какой-то способ отслеживать, кем написан тот или иной образец. Советую использовать секретную маркировку, но будьте осмотрительны с выбором кода. Не стоит помечать образцы почерка мальчиков зеленым цветом, а девочек – желтым. Даже не зная, кто есть кто, я догадаюсь, что желтым обозначен один пол, а зеленым – другой, и это уже будет большим подспорьем. Лучше пронумеровать каждый листок. Но не следует давать мальчикам номера от 1 до 10, а девочкам – от 11 до 20: получится точно так же, как с желтыми и зелеными метками.
 
То же самое будет, если дать мальчикам нечетные номера, а девочкам – четные. Лучше пронумеруйте листки случайным образом и спрячьте ключ к шифру под замок, так чтобы я не мог его найти. В литературе о клинических испытаниях все эти пред осторожности фигурируют под названием "двойное слепое исследование".
 
Допустим, что все меры секретности, требуемые в двойных слепых исследованиях, приняты и что вы собрали двадцать анонимных образцов почерка и перетасовали их. Я просматриваю эти листки и раскладываю по двум стопкам: предположительно мальчишеские в одну, предположительно девичьи в другую. Возможно, несколько раз у меня возникнет вариант "затрудняюсь ответить", но давайте считать, что вы поставили мне условием всегда, хочешь не хочешь, делать выбор в пользу одного из двух предположений. В конце нашего эксперимента передо мной будут лежать две стопки, и вы изучите их, чтобы определить, насколько точно я угадывал.
 
Теперь перейдем к статистике. Очевидно, что, даже действуя совершенно наобум, я бы угадывал правильный ответ довольно часто. Но насколько часто? Если утверждение, будто я способен определять пол по почерку, необоснованно, то угадывал бы я не лучше, чем люди угадывают, какой стороной выпадет монета. Вопрос в том, достаточно ли сильно мой результат отличается от результата подбрасываний монеты, чтобы производить должное впечатление. Подступиться к ответу на этот вопрос можно следующим образом.
 
Подумайте обо всех возможных вариантах решения данной задачи по определению пола 20 человек, какие я только мог бы дать. Распределите эти варианты в порядке убывания производимого ими впечатления: от 20 правильных угадываний до полной бессистемности (20 неправильных ответов окажутся почти так же поразительны, как и 20 правильных, ибо будут свидетельствовать о том, что я умею различать мальчиков и девочек по почерку, но интерпретирую свои результаты с точностью до наоборот). Затем посмотрите, как я рассортировал образцы на самом деле, и подсчитайте долю всех тех возможных результатов, которые были бы не менее впечатляющими, чем мой. Обо всех без исключения возможных вариантах ответа рассуждать будем так. В первую очередь обратим внимание на то, что есть только один способ дать 100% правильных ответов и один – 100% неправильных, зато существует множество способов дать 50% правильных ответов.
 
Можно угадать с первым листком, ошибиться со вторым, ошибиться с третьим, угадать с четвертым… Способы дать 60% верных ответов несколько менее многочисленны, для 70% их еще меньше, и так далее. Количество способов сделать одну-единственную ошибку достаточно невелико для того, чтобы мы могли их перечислить. Всего было 20 рукописей. Ошибиться можно либо с первой, либо со второй, либо с третьей… и так далее вплоть до двадцатой. То есть существует ровно 20 способов совершить только одну ошибку. Перечислять все способы сделать две ошибки – дело более утомительное, но можно без особого труда подсчитать, что их 190. Несколько труднее будет вычислить количество способов ошибиться трижды, но ясно, что эта задача тоже выполнима. И так далее.
 
Допустим, что в нашем вымышленном опыте я сделал две ошибки. Нам хотелось бы узнать, насколько хорош мой результат на фоне всех возможных вариантов ответа. Для этого следует выяснить, как много существует способов показать результат, который был бы так же хорош или еще лучше. Есть 190 способов справиться с задачей так же хорошо, как я. Способов справиться лучше – 20 (с одной ошибкой) плюс 1 (без ошибок). Итак, общее число таких вариантов ответа, которые были бы не хуже моего, равняется 211. Результаты, превосходящие тот, что получился у меня в реальности, должны быть непременно включены в наши расчеты, потому что они по праву принадлежат сосопосо, равно как и 190 вариантов, равноценных моему.
 
Мы должны противопоставить число 211 общему количеству способов, какими можно было бы распределить эти 20 рукописей по стопкам, просто бросая монетку. Вычислить это количество несложно. Первый образец почерка мог принадлежать либо мальчику, либо девочке – то есть возможностей для выбора тут две. Второй образец тоже мог быть написан как мальчиком, так и девочкой. Следовательно, на каждую из двух возможностей выбора для первого листа бумаги приходятся две возможности для второго. То есть общее число вариантов решения для первых двух образцов составляет 2 X 2, или 4. Для первых трех образцов число возможностей 2 X 2 X 2 = 8. А чтобы подсчитать количество возможных ответов для всех двадцати образцов почерка, надо перемножить двадцать двоек. Иначе говоря, это будет два в двадцатой степени – число немаленькое: 1 048 576.
 
Итак, среди всех возможных способов разложить эти листки по стопкам доля тех вариантов, которые будут столь же хороши, сколь и мой, или еще лучше, составит 211/1 048 576, что приблизительно равняется 0,0002, или 0,02%. Другими словами, если бы 10 000 человек сортировали образцы почерка исключительно при помощи подбрасываемой монетки, можно было бы ожидать, что только двое из них показали бы такие же хорошие результаты, как я. Это означает, что мой результат очень даже неплох и, если бы я действительно получил его, он стал бы серьезным аргументом в пользу того, что в почерке мальчиков и девочек имеются систематические различия. Позвольте еще раз напомнить, что этот пример был полностью гипотетическим. 
 
Насколько мне известно, никакой такой способностью определять пол по почерку я не обладаю. Должен также добавить, что, если бы даже обнаружилось надежное доказательство существования обусловленных полом различий в почерке, отсюда совершенно не было бы ясно, врожденные они или приобретенные. Эти доказательства – по крайней мере, если бы они были получены в ходе опыта, подобного только что описанному, – были бы совместимы и с той точкой зрения, что девочкам методично прививается иная манера письма, нежели мальчикам: скажем, более "женственная" и менее "уверенная".
 
Мы с вами только что проделали то, что специалисты называют проверкой статистической значимости. Рассуждали мы, исходя из базовых принципов, в силу чего наша аргументация получилась довольно нудной. В действительности же исследователи могут обращаться к готовым таблицам вероятностей и распределений. Таким образом, нам не нужно в буквальном смысле слова выписывать на бумагу все возможные варианты событий. Но теория, скрывающаяся за этими таблицами, – фундамент, на котором они построены, – опирается на ту же самую основополагающую методологию. Рассмотрите все те события, какие могли бы произойти, вплоть до откровенно случайных. Взгляните, какой оборот события приняли в реальности, и оцените, насколько вероятен (или невероятен) был такой исход, учитывая весь спектр возможных вариантов.
 
Обратите внимание, что тест на статистическую значимость ничего окончательно не доказывает. Он не сбрасывает со счетов такой возможный источник получившегося результата, как везение. Максимум, на что он способен, – это определить, какое именно количество удачи могло бы обеспечить наблюдаемый нами результат. В нашем конкретном гипотетическом примере это количество соответствовало двум везунчикам из десяти тысяч человек, взявшихся отгадывать наобум. Говоря, что результат статистически значим, мы всегда должны указывать так называемое p-значение. Этим термином обозначается вероятность, с которой результат, не менее поразительный, чем тот, что был получен в действительности, мог бы возникнуть в силу чистой случайности. 0,0002 (2 на 10 000) – это весьма впечатляющее p-значение, но все равно остается вероятность того, что никакой истинной закономерности мы не обнаружили. Красота должным образом проведенного статистического анализа заключается в том, что он позволяет точно узнать, насколько вероятно отсутствие подлинной закономерности в наших наблюдениях.
 
Бывает, что ученые позволяют себе доверять таким p-значениям, как 0,01 или даже 0,05, – намного менее впечатляющим, чем 0,0002. Какое p-значение вам подойдет, зависит от того, насколько важен полученный результат и какие решения будут на нем основываться. Если вы всего лишь раздумываете, стоит ли повторять опыт с более крупной выборкой, то p-значение, равное 0,05, вполне сгодится. Даже если и существует 1 шанс из 20, что ваши любопытные результаты получились просто в силу случайности, на карту поставлено не так уж много – ошибка не будет дорого вам стоить. Если же ваше решение – вопрос жизни и смерти, как это бывает в некоторых медицинских исследованиях, то требуются p-значения намного меньшие, чем 0,05. То же самое касается и экспериментов, цель которых – доказать нечто крайне спорное, например телепатию или "паранормальные" явления.
 
Обсуждая ДНК-дактилоскопию, мы уже мельком видели, что статистики различают два вида ошибок: ложноположительные и ложноотрицательные, их еще называют ошибками первого и второго рода соответственно. Ошибка второго рода, или ложноотрицательный результат, возникает, когда не удается обнаружить явление, которое на самом деле существует. А ошибка первого рода, или ложноположительный результат, – это вывод, будто происходит что-то интересное, хотя тут нет ничего, кроме случайности. P-значение – это мера вероятности того, что вы совершили ошибку первого рода.
 
Мыслить статистически означает идти серединным курсом, уворачиваясь как от одних ошибок, так и от других. Существует еще ошибка третьего рода, при которой ваш разум впадает в полный ступор каждый раз, когда вам нужно вспомнить, какие ошибки относятся к первому роду, а какие ко второму. Мне до сих пор приходится заглядывать в справочники, хоть я и пользуюсь этими понятиями всю жизнь. Поэтому там, где нужно, я буду употреблять более запоминающиеся названия: ложноположительный и ложноотрицательный результаты. Кстати, еще я часто ошибаюсь в арифметике. В реальной жизни мне бы и в голову не пришло проводить статистический анализ, исходя из базовых принципов, как я это сделал для нашего гипотетического примера с почерком. Я бы непременно посмотрел в готовую таблицу, где все расчеты уже выполнены кем-то другим (желательно компьютером).
 
Скиннеровские суеверные голуби совершали ложноположительную ошибку. На самом деле в их мире не существовало никакой закономерности, которая связывала бы их действия с запуском механизма вознаграждения. Однако вели они себя так, будто обнаружили такую закономерность. Один голубь "думал" (или действовал так, будто думает), что выдача награды вызывается шаганием влево. Другой "думал", будто благотворный эффект достигается засовыванием головы в угол. Оба совершали ложноположительную ошибку. А пример ложноотрицательного результата демонстрирует такой голубь в ящике Скиннера, который не замечает, что если клевать переключатель, когда горит красный фонарик, то производится выдача пищи, но если клевать его, когда горит синий, это штрафуется выключением механизма на десять минут. В маленьком мире данной скиннеровской камеры существует подлинная закономерность, которая ждет, чтобы ее обнаружили, но наш гипотетический голубь ее не видит. Он клюет, не делая различий между цветами, и потому получает вознаграждение реже, чем мог бы.
 
Ложноположительную ошибку совершает крестьянин, думающий, что вслед за принесением жертвы богам придет долгожданный дождь. Полагаю (хоть никогда и не проверял этот вопрос экспериментально), никакой подобной закономерности в природе не существует, однако крестьянин этого не обнаруживает и упорно продолжает совершать свои бесполезные и расточительные жертвоприношения. А тот, у кого не получается обнаружить реально существующую взаимосвязь между унавоживанием почвы и урожайностью, совершает ложноотрицательную ошибку. Хороший крестьянин тот, кому удается лавировать между
ошибками первого и второго рода.
 
Итак, я утверждаю, что все животные (в большей или меньшей степени) интуитивно ведут себя как статистики, придерживаясь золотой середины между двумя типами ошибок. Ошибки как первого, так и второго рода штрафуются естественным отбором, однако наказания эти неравноценны и, вне всякого сомнения, разнятся в зависимости от образа жизни вида. Гусеница пяденицы, мимикрирующая под сучок, так на него похожа, что мы можем быть уверены: над этим сходством потрудился естественный отбор. Много гусениц погибло ради достижения столь прекрасного результата. Погибли они потому, что походили на сучок недостаточно сильно – и птицам или другим естественным врагам удалось их обнаружить. Даже искусных имитаторов иногда разоблачали. Иначе как бы естественный отбор довел это сходство до того совершенства, которое мы наблюдаем?

Но в то же время и птицы множество раз не замечали гусениц, поскольку те были похожи на сучок, порой отдаленно. Любое животное-жертва, как бы хорошо оно ни было замаскировано, может быть обнаружено хищником в условиях идеальной видимости. И аналогично в условиях плохой видимости хищник способен прозевать любую жертву, сколь угодно слабо замаскированную. Видимость меняется в зависимости от угла зрения (хищник может заметить хорошо замаскированное животное, глядя на него в упор, но зато упустить плохо замаскированное, увиденное лишь краем глаза), от освещенности (хищник не заметит жертву в сумерках, но увидит ее в полдень) и от расстояния (жертва может быть хорошо видна, если хищник находится от нее в шести дюймах, и незаметна со ста ярдов).
 
Представьте себе птицу, которая облетает лес в поисках пропитания. Вокруг себя она видит огромное количество сучков, очень немногие из которых могут оказаться съедобными гусеницами. Главное – выбрать нужный. Весьма вероятно, что если птица приблизится к предполагаемому сучку и дотошно, сосредоточенно рассмотрит его при хорошем освещении, то она гарантированно сумеет распознать, сучок это или гусеница. Но времени на то, чтобы обследовать так каждый сучок, у нее нет. Мелким птицам с их интенсивным обменом веществ необходимо подкрепляться с пугающей частотой, чтобы оставаться в живых. Любая пичуга, которая возьмется разглядывать каждый сучок словно бы под лупой, умрет от голода раньше, чем найдет свою первую гусеницу. Эффективные поиски подразумевают более беглое, поверхностное обследование территории, хоть оно и сопряжено с риском упустить часть добычи. Птица должна соблюдать равновесие: при излишней небрежности она ничего не найдет, а при чрезмерной обстоятельности – различит каждую гусеницу, на какую ни посмотрит, но все равно умрет от голода, поскольку таковых окажется слишком мало. Все это нетрудно изложить в терминах ошибок первого и второго рода.
 
Птица, которая пролетает мимо гусеницы, не разглядев ее, совершает ложноотрицательную ошибку. А жертвой ложноположительной ошибки становится та птица, которая старательно присматривается к предполагаемой гусенице только ради того, чтобы выяснить, что на самом деле это сучок. Штраф за ложноположительный результат – время и энергия, потраченные на приближение и пристальное изучение. В каждом отдельном случае эти затраты невелики, но их сумма может оказаться фатальной. А ложноотрицательная ошибка наказывается нехваткой пищи. Ни одна птица, живущая за пределами Страны эльфов, не может быть совсем избавлена от совершения ошибок первого и второго рода. Каждая конкретная птица запрограммирована естественным отбором придерживаться некой компромиссной стратегии, рассчитанной на то, чтобы достичь оптимальной промежуточной частоты ложноположительных и ложноотрицательных ошибок. Одним птицам, вероятно, свойственнее совершать ошибки первого рода, а другие склонны впадать в противоположную крайность. Всегда найдется некая золотая середина, и естественный отбор будет направлять эволюцию в ее сторону.
 
То, какие именно промежуточные "настройки" окажутся золотой серединой, варьирует от вида к виду. В нашем примере это будет зависеть еще и от свойств конкретного леса – например от того, насколько многочисленна популяция гусениц относительно количества сучков. Эти условия могут меняться из недели в неделю и от леса к лесу. Возможно, птицы запрограммированы так, чтобы учиться приводить свою стратегию в соответствие с приобретаемым статистическим опытом. Способны они к обучению или нет, но успешно охотящимся животным обычно приходится вести себя так, будто они хорошие статистики. (Кстати, надеюсь, нет необходимости делать вечную нудную оговорку: "Нет-нет, птицы не проводят осознанных расчетов, вооружившись калькулятором и таблицами вероятностей. Их поведение выглядит так, как если бы они занимались вычислением p-значений. Они осведомлены о том, что такое p-значение, не больше, чем вы осознаете, каким уравнением описывается параболическая траектория крикетного или бейсбольного мяча, когда он летит к вам с другого конца поля".)
 
Морской черт, или рыба-удильщик, пользуется легковерием мелких рыбешек вроде бычков. Но эта формулировка нечестная, субъективно-оценочная. Правильнее было бы говорить не о легковерии, а о том, что удильщик эксплуатирует те трудности, которые неминуемо испытывают мелкие рыбки, лавируя между ошибками первого и второго рода. Мелким рыбкам тоже нужно есть. Их рацион бывает различным, но зачастую в него входят небольшие извивающиеся объекты, такие как черви или креветки. Глаза и нервная система рыбешек отлажены для того, чтобы замечать все, что извивается. Они выискивают объекты с подобным типом движения, а увидев – бросаются на них. Морской черт пользуется этим в своих интересах. У него есть длинное удилище, возникшее из модифицированного плавникового луча, перетянутого естественным отбором из исходного местоположения на переднем крае спинного плавника. Сам удильщик, превосходно замаскированный, часами неподвижно лежит, совершенно сливаясь с фоном из водорослей и камней. 
 
Единственная его приметная часть – "приманка" на конце удилища, напоминающая червя, креветку или малька. У некоторых глубоководных видов она даже светится. В любом случае, когда морской черт взмахивает своим удилищем, приманка извивается, как нечто съедобное. Это привлекает потенциальную рыбку-жертву, например бычка. Некоторое время удильщик "играет" с рыбкой, разжигая ее интерес, а затем направляет приманку к своему невидимому рту. Рыбка обычно следует за ней. И внезапно этот огромный рот перестает быть невидимым. Он широко разевается, мощно засасывая воду вместе со всем, что плавает в ней поблизости, и маленькой рыбке больше уже не придется охотиться за червяками.
 
С точки зрения бычка, который выискивает добычу, любого червя можно либо проворонить, либо заметить. Когда "червяк" обнаружен, он может оказаться как настоящим червем, так и наживкой удильщика. И несчастная рыбка сталкивается с дилеммой. Ложноотрицательной ошибкой будет воздержаться от нападения на превосходного червя из боязни, что он окажется приманкой, а ложноположительной – атаковать и нарваться на приманку. Отмечу еще раз, что в реальной жизни невозможно никогда не ошибаться. Рыбка, избегающая рисков, станет голодать, поскольку она никогда не бросается на червей. А безрассудная рыбка голодать не будет, но может сама оказаться съеденной. В такой ситуации оптимум не обязательно располагается ровно посередине. И, что еще удивительнее, оптимальной стратегией может оказаться один из крайних вариантов. Не исключено, что морские черти встречаются достаточно редко, и потому естественный отбор благоприятствовал экстремальному принципу: атакуй все, что похоже на червяка. Я обожаю высказывание философа и психолога Уильяма Джеймса по поводу ужения рыбы людьми:
 
Червей не на крючках больше, чем надетых на крючки; вот природа и говорит своим детям-рыбам: в общем и целом, хватайте любого червя, и
удачи вам. (1910 г.)
 
Люди, подобно всем другим животным и даже растениям, могут и должны вести себя как интуитивные статистики. Разница только в том, что мы способны проделывать свои вычисления дважды. Первый раз – интуитивно, как птицы или рыбы. А потом еще раз – явно, при помощи карандаша и бумаги или же на компьютере. Есть соблазн сказать, что этот второй способ дает правильный ответ (до тех пор, пока мы не совершим какой-нибудь поддающийся публичному обнаружению просчет – например, внесем лишние данные), а интуиция может ошибаться. Но, строго говоря, "правильного" ответа не существует, даже если заниматься статистикой с карандашом в руке. Можно правильно произвести арифметические действия и вычислить p-значение, но сам критерий, то пороговое p-значение, которое мы задаем для принятия того или иного решения, останется на нашей совести и будет зависеть от того, насколько мы склонны рисковать. Если наказание за ложноположительный результат намного суровее, чем за ложноотрицательный, то нам следует выбирать осторожное, консервативное p-значение – почти никогда не пытаться ухватить "червяка", опасаясь последствий. И наоборот, когда соотношение рисков противоположное, надо очертя голову бросаться на любого "червя", какой ни встретится: раз нет ничего страшного в том, что некоторые из этих червей окажутся фальшивыми, значит, стоит попытать счастья.
 
Уяснив необходимость искусного лавирования между ложноположительными и ложноотрицательными ошибками, давайте теперь вернемся к необъяснимым совпадениям и вычислению вероятности, с какой они могли бы произойти случайно. Если давным-давно позабытый друг приснится мне в ночь своей смерти, то мной, как и кем угодно другим, овладеет искушение увидеть в этом стечении обстоятельств смысл и закономерность. Мне придется буквально заставить себя вспомнить о том, что каждую ночь немало людей умирает, огромное количество людей видит сны, причем нередко о чьей-нибудь смерти, и подобное совпадение случается, вероятно, с несколькими сотнями человек каждую ночь. И даже после того, как я обдумаю все это, моя интуиция все равно будет кричать мне, что в этом совпадении должен быть какой-то смысл, поскольку оно произошло со мной. Если человеческая интуиция в данном случае действительно совершает ложноположительную ошибку, то нам необходимо найти удовлетворительное объяснение тому, почему она склонна совершать перекос именно в эту сторону. Нам как дарвинистам следует понять возможные причины, по которым давление отбора подталкивает нас к заблуждениям по какую-то одну сторону водораздела между ошибками первого и второго рода.
 
Будучи дарвинистом, я хочу высказать предположение, что наша готовность изумляться якобы необъяснимым совпадениям (представляющая собой частный случай нашей готовности видеть закономерности там, где их нет) связана с типичным для наших предков размером популяции и сравнительной скудностью их каждодневных впечатлений. Антропологические и археологические свидетельства, наблюдения за другими приматами – все говорит в пользу того, что на протяжении последних нескольких миллионов лет наши предки жили по большей части небольшими кочующими группами или же небольшими поселениями. А значит, и в том и в другом случае количество друзей и знакомых, с которыми они могли хотя бы изредка встречаться и общаться, не превышало нескольких десятков. Частота, с какой доисторический поселянин мог слышать истории о поразительных совпадениях, была соразмерна этому малому количеству знакомств.
 
Если такое совпадение случалось с кем-то не из его поселения, он о нем и не слышал. Вот почему наш головной мозг оказался откалиброван таким образом, чтобы мы видели закономерность и удивленно ахали при совпадениях, которые показались бы нам весьма заурядными, собирай мы новости от друзей и знакомых с большей территории.
 
Сегодня наша область информационного охвата велика – главным образом за счет газет, радио и прочих массовых переносчиков новостей. Я уже изложил подробно этот довод. Наиотборнейшие, леденящие душу истории совпадений получили возможность распространяться среди огромной аудитории, прежде немыслимой, которая внимает им, затаив дыхание. Но, как мне думается, естественный отбор, действовавший на наших предков, настроил наш головной мозг на гораздо меньшую частоту совпадений, соответствующую реалиям небольшого поселения.
 
И мы поражаемся совпадениям потому, что наш порог изумления установлен неверно. Естественный отбор отлаживал наш субъективный размер сосопосо в маленьких поселениях, а теперь эти настройки устарели, как и многое другое в современном мире. (Сходными аргументами можно объяснить, почему мы так истерично боимся тех опасностей, о которых много пишут в газетах. Быть может, у беспокойных родителей, которым за каждым столбом, стоящим на пути их чада из школы, мерещатся рыщущие в поисках добычи педофилы, тоже "сбиты настройки"?)
 
Мне кажется, есть и еще одна, более специфическая сила, подталкивающая нас в том же направлении. Подозреваю, что жизнь современного индивидуума больше насыщена впечатлениями на единицу времени, чем жизнь нашего первобытного предка. Она не ограничивается тем, чтобы проснуться утром, раздобыть себе пропитание тем же способом, что и вчера, поесть один или два раза и снова лечь спать. Мы читаем книги и журналы, смотрим телевизор, перемещаемся с огромными скоростями в незнакомые места, встречаем тысячи людей на улице по дороге на работу. Число лиц, которые мы видим, разнообразных ситуаций, в которые попадаем, отдельных событий, которые происходят с нами, намного больше, чем у наших предков-поселян. 
 
Это означает, что количество возможностей для совпадения, с которыми сталкивается каждый из нас, больше, чем было у наших предков, а следовательно, и больше, чем наш мозг в состоянии оценить. Вот еще один, дополнительный эффект, вдогонку к уже упомянутому мной эффекту размера популяции.
 
С учетом этих двух эффектов мы теоретически могли бы заново откалибровать самих себя – научиться приводить свой порог изумления в соответствие с современной численностью популяций и современным богатством впечатлений. Но эта задача, по-видимому, непроста даже для умудренных опытом естествоиспытателей и математиков. Раз мы все еще удивленно ахаем по прежним поводам, а прорицателям и медиумам, экстрасенсам и астрологам удается так неплохо на нас наживаться, значит, мы, в массе своей, не обучаемся менять собственные настройки. Судя по всему, те участки нашего головного мозга, которые отвечают за интуитивную статистическую оценку, застряли в каменном веке.
 
Это касается, вероятно, и интуиции в целом. В своей книге"Противоестественная природа науки" (1992 г.) выдающийся эмбриолог Льюис Вольперт утверждает, что наука трудна для понимания по той причине, что она более или менее постоянно контринтуитивна. Это противоречит точке зрения Томаса Генри Гексли ("бульдога Дарвина"): тот считал, что наука является "не чем иным, как вышколенным и организованным здравым смыслом, отличаясь от него только тем, чем ветеран отличается от неопытного новобранца". По мнению Гексли, методы науки и здравого смысла "отличаются друг от друга не больше, чем приемы гвардейца в рукопашном бою отличаются от того, как дикарь орудует своей дубиной". Вольперт же настаивает на том, что наука чрезвычайно парадоксальна и неожиданна – она скорее пощечина житейской мудрости, чем ее продолжение, – и его аргументы очень убедительны. К примеру, каждый раз, выпивая стакан воды, вы проглатываете хотя бы одну молекулу, побывавшую в мочевом пузыре Оливера Кромвеля. Это следует из замечания Вольперта о том, что "молекул в стакане воды больше, чем стаканов воды в океане". 
 
Ньютоновский закон, утверждающий, что тело остается в движении до тех пор, пока внешняя сила его не остановит, контринтуитивен. Так же как и открытие Галилея, согласно которому при отсутствии сопротивления воздуха легкие предметы падают с той же скоростью, что и тяжелые. Так же как и тот факт, что твердые вещества, даже прочнейший алмаз, почти целиком состоят из пустоты. В своей книге "Как работает мозг" (1998 г.) Стивен Пинкер проводит всестороннее обсуждение, проливающее свет на эволюционные корни нашей интуиции в вопросах физики.
 
Существенно большую трудность представляют собой выводы из квантовой теории. Они полностью подтверждаются экспериментально с поразительным по убедительности количеством знаков после запятой, но при этом настолько чужды сформировавшемуся в ходе эволюции человеческому мозгу, что даже профессиональные физики не понимают их на интуитивном уровне. Похоже, не только наша интуитивная статистика, но и весь наш головной мозг застрял в каменном веке.
 
Отрывок из книги Ричарда Докинза "Расплетая радугу"

«Каждый ученый изгоняет бога из той науки, которая составляет предмет его специального изучения»

Лафарг П.

Файлы

Популярная история – от электричества до телевидения

Структура Реальности

Научный атеизм. Учебное пособие

Критика клерикальных концепций войны и мира