Вычисления, машины, программирование

Король Швеции Карл-Густав вручает Л. В. Канторовичу Нобелевскую премию по экономике

Леонид Витальевич Канторович, Мой путь в науке (предполагавшийся доклад в Московском математическом обществе):

Члены общества хорошо знают труды московских математиков, кото­рых они слушали студентами и многократно встречали позже. Иногород­них математиков знают гораздо меньше. Поэтому моя цель — как бы представиться Математическому обществу. Впрочем, впервые такое представ­ление произошло в январе 1930 г., когда состоялся мой первый доклад на обществе, но вряд ли кто-либо из присутствовавших тогда, находится в ау­дитории.

Прежде чем перейти к конкретному изложению, я хотел бы кое-что сказать о себе, так сказать, заняться некоторой самокритикой. Я не эрудит. Отчасти это может быть связано с характером образования — в то время ни научных стипендий, ни научных ставок не было, поэтому и в свое аспи­рантское время, и в последующие годы научную работу мне пришлось сов­мещать с двумя-тремя педагогическими службами, тем более, что с 1930 г. я был основным кормильцем семьи. Должен признаться, что и моя память, и способность к восприятию нового не намного выше среднего. Некоторые делят математиков на математиков, обладающих, по преимуществу, проникающей силой, и математиков-концептуалистов. Я при­надлежу ко второй категории. В общем, меня мало привлекали проблемы, поставленные другими, и знаменитыми проблемами я специально не зани­мался. Впрочем, те концепции, которые были выдвинуты, позволили ненаправленным сосредоточением сил, а попутно, решить ряд известных проб­лем.

Наконец, для моей деятельности характерным является постоянное взаимопроникновение теории и практики, в отношении практики, нередко далеко выходящей за пределы математики.

* * *

Еще в 1943 г., будучи в командировке в Москве, я попал, по приглашению Лазаря Ароновича Люстерника, на семинар, где обсуждались проб­лемы использования машин для больших вычислительных работ. В это время в Москве проводились некоторые такие расчеты. Сначала шла речь о при­митивных машинах — счетно-аналитических, которые были приобретены в связи с переписью населения 1939 г. и после этого практически не исполь­зовались. По-видимому, впервые эти машины были применены для некото­рых численных расчетов проф. И. Н. Янжулом из Астрономического инсти­тута в Ленинграде. На семинаре обсуждались возможности использования этих машин для других расчетов. Они были очень медленными — табулятор делал сложение за полсекунды, умножение — в течение 5—8-ми секунд.

Вскользь говорилось о начавшихся разработках по электронным машинам и счетно-аналитическим, построенным на тех же принципах (типа «Марк I», «Марк II» в США). Меня эти вопросы очень заинтересовали, и я тут же на семинаре предложил ряд вариантов их применения. После возвращения в Ленинград мне была поручена сначала группа в ЛОМИ, а затем и отдел «Приближенных вычислений», который должен был заниматься разработкой численных методов и проводить большие конкретные вычислительные работы по заданию тех или иных организаций (как правило, связанных с физикой).

Нами была установлена связь с ленинградской машинно-счетной фабрикой, занятой простейшими бухгалтерскими вычислениями на машинах, также оставшихся после переписи населения. М. К. Гавурин и я предложили некоторые новые схемы использования этих счетных машин. Основной принцип их эффективного использования — это запараллеливание ана­логичных вычислений, благодаря чему появлялась возможность введения простейших программных изменений на коммутационной доске (конечно, вручную).

Так, были предложены способы скорой выборки из таблиц и способ ра­счета скалярного произведения не умножением, а сложением на табуляторе, при этом один из сомножителей формировался не в десятичной, а в двоичной системе.

Серьезным конкретным достижением было вычисление на этой прими­тивной технике таблиц Бесселевых функций до 120 порядка на большом ин­тервале. Наиболее интересным тут было запараллеливание вычислений при интегрировании на этих машинах дифференциального уравнения для Бесселевых функций. Запараллеливание достигалось тем, что промежуток интегрирования был разбит на несколько интервалов и функции разных номе­ров на каждом из интервалов вычислялись одновременно, поэтому получа­лись достаточно большие массивы одинаковых операций, которые эффектив­но осуществлялись на этих машинах.

Эта работа была сделана при моем участии М. К. Гавуриным и В. Н. Фаддеевой. Любопытно, что параллельно таблицы Бесселевых функций рассчи­тывались в США на машинах «Марк» и даже «ЭНИАК». Наша работа началась двумя годами позже и была выполнена всего за полтора года, еще до того как было закончено издание американских таблиц.

Мое внимание привлекла и сама вычислительная техника. Возникла идея — важную, часто встречающуюся операцию выборки значений функции из таблиц осуществлять автоматически. Для этого было спроектировано специальное устройство — «функциональный преобразователь» на простей­шей электромеханике, полупроводниках-купроксах и селенах, включавшее более 10 тысяч полупроводниковых элементов. По заказу Математического института и заинтересованных организаций это устройство было изготовлено в нескольких экземплярах на заводе счетно-аналитических машин в Москве.

Оно позволяло операцию расчета значения функции — выборки основного значения из таблицы и расчета поправки — делать за короткое время. Для каждой функции требовалась своя система коммутации. Впрочем, как я уже говорил, была и доска с универсальной коммутацией, которая одно­временно позволяла вычислять десять различных функций, но с меньшей точностью. В дальнейшем «функциональный преобразователь» был зареги­стрирован как изобретение, некоторое время применялся, но это было уже время перехода на электронную вычислительную технику. У наспоявились первые ЭВМ — «Стрела» и «БЭСМ», с которыми наше устрой­ство конкурировать не могло. Но, вероятно, это была первая в мире вычис­лительная машина, в которой широко использовались полупровод­ники.



Первая советская серийная ЭВМ "Стрела" 1953 год

Первые годы электронно-вычислительная техника была малопроизво­дительна, дорога и доступна только некоторым приоритетным учреждениям. Между тем, расчеты велись во многих организациях — научных, проект­ных, геодезических и других, в которых работали десятки и сотни вычисли­телей-операторов, и именно ими фактически выполнялись массовые вы­числения. Эти операторы работали на счетных машинах механического ти­па — арифмометрах. Наиболее совершенными из настольных счетных ма­шин были в то время «Мерседес-Евклид» и «Рейнметалл», которые импорти­ровались из-за границы.

Попытки собственного производства подобных автоматов встретили значительные трудности — нужны были высококачественные материалы и очень точная машинная обработка. Было произведено лишь несколько десятков или сотен таких машин, причем работали они неудовлетворительно. Между тем и зарубежные машины также имели недостатки — были не очень надежны, требовали частого и сложного ремонта, запасных частей, так что каждые пять работающих машин должен был опекать квалифицированный механик.

Здесь пригодился наш опыт в области составления элементов, вычислительных приемов и конструирования устройств, накопленный в процессе работы над «функциональным преобразователем» и некоторыми другими экспериментальными образцами. На основе этих элементов были скон­струированы оригинальные образцы настольных счетных автоматов, причем была использована техника, которая не применялась ранее ни у нас, ни за рубежом. Это было зарегистрировано как изобретение. Сконструированные машины были несколько более производительными, чем механические автоматы, и очень простыми в эксплуатации и ремонте — достаточно была замены одного из нескольких типов элементов.

Внедрение их в практику оказалось делом довольно трудным. И в Москве, и в Ленинграде их отказались производить, но, к счастью, тогда было время совнархозов, и нашелся завод и конструкторское бюро, которые были мало загружены и приняли это изобретение к реализации. Все же в течение года или полутора лет они не приступали к работе, желая создать аналогичную машину, но собственного изобретения. Однако работа вошла в план, сроки поджимали и у нас запросили чертежи. В довольно короткий срок было начато изготовление этих машин на трех заводах, в том числе в Вильнюсе — машина «Вильнюс».

В течение десяти лет было выпущено около сорока тысяч машин, что, в основном, удовлетворило нужды страны и позволило по большей части осво­бодиться от импорта. Лишь около семидесятого года начали производить настольные электронно-счетные клавишные машины, которые первое время были намного дороже и менее удобны в эксплуатации. Но прогресс неизбежен.

Почти сразу же после появления электронных машин началась работа по упрощению и автоматизации программирования. Мы в Ленинграде также включились в эту работу. Основным недостатком существовавшей системы, на мой взгляд, было резкое различие языка для машины и математического языка, на котором описывался алгоритм. В математическом описании использовались символы, крупные операции, различные математические понятия, а в машинной программе все это надо было доводить до стандартных операций над числами. Конечно, большим достижением была система управ­ления и пересылки, в создании которой большую роль сыграл Дж. фон Ней­ман.

Первым новшеством нашей системы было другое описание вычислитель­ной схемы, именно, в ней применялись не только простейшие арифметиче­ские операции, но и многие укрупненные математические операции. Другим, конечно, было то, что элементами схемы были не отдельные числа, а целые их массивы с описаниями расположения и др. В результате схема расчета записывалась с вычислительного плана с логическими связями и перехо­дами, довольно короткого и обозримого.

Для укрупненных операций — упорядочение, скалярное произведение, операции над матрицами и т. д.— были созданы подпрограммы, их реали­зующие. Также выделялись и специальные операции, если они часто встречались в каком-то расчете. При этом вместо машинных адресов использова­лись инвентарные адреса, что можно назвать паспортом данных массива или операции. Эта система в соответствии с модным тогда термином, применяв­шимся в строительстве, была названа «крупноблочным программиро­ванием».

Эти идеи имели и другое воплощение — благодаря использованию логи­ческой схемы для записи процесса расчета появлялась возможность опери­рования с этими схемами и их применение не только для численных, но и для аналитических выкладок. Скажем, программа позволяла производить аналитическое дифференцирование любой функции, составленной из элемен-тарных или специальных. Эти работы велись, начиная с 1953 г., но возмож­ность первых публикаций относится к 1956 г.

Довести эту работу до конца и создать цельную систему автоматизированного программирования не удалось. Как известно, создание таких систем требует десятков и сотен разработчиков. Кроме того, в нашей системе несколько большее место занимали операции управления, так что при тогдашнем голоде машинного времени ее было целесообразно применять только к массовым задачам. Схемная запись вычислительных планов нашла ис­пользование в созданной в Киеве машине «Мир-3», а в последующем исполь­зовалась физиками для проведения на машинах сложных аналитических выкладок.

В это же время были составлены (в командном и автоматизированном исполнении) программы для решения задач линейного программирования, в частности, для транспортной задачи. В компактной и быстродействующей программе, опубликованной в 1958 г. М. А. Яковлевой, был реализован метод потенциала. Разработкой этих программ и системы «крупноблочного программирования» занимались мои сотрудники Л. Т. Петрова, В. А. Булавский, М. А. Яковлева, Р. А. Звягина...

Отрывок из доклада Л. В. Канторовича "Мой путь в науке"

Математика и экономика Канторовича



19 января 2012 г. — столетие со дня рождения Леонида Витальевича Канторовича, всемирно известного математика и экономиста. Вундеркинд, окончивший университет в 18 лет и ставший профессором в 20, академик по математике и лауреат Нобелевской премии по экономике — необычные обстоятельства жизни, достойные некоторого внимания сами по себе. Однако извлечь из них полезные для себя выводы вряд ли возможно — события крайне редкие и маловероятные. Другое дело творческое наследие человека — сделанное для других остаётся, пока оно не забыто, испорчено или оболгано. Юбилейная дата — повод для инвентаризации памяти. Вспоминая вклад людей в культуру, мы сохраняем их духовные миры для будущего...

Линейное программирование

Главным открытием Канторовича на стыке математики и экономики стало линейное программирование, которое теперь изучают десятки тысяч людей во всем мире. Под этим термином скрывается колоссальный раздел науки, посвященный линейным оптимизационным моделям. Иначе говоря, линейное программирование — это наука о теоретическом и численном анализе и решении задач, в которых требуется найти оптимальное значение, т. е. максимум или минимум некоторой системы показателей в процессе, поведение и состояние которого описывается той или иной системой линейных неравенств. Основополагающие идеи новой дисциплины Канторович сформулировал в 1939 г.

Термин «линейное программирование» был предложен в 1951 г. американским экономистом Тьяллингом Купмансом. В 1975 г. Канторович и Купманс получили Нобелевскую премию по экономическим наукам с формулировкой «за их вклад в теорию оптимального распределения ресурсов». Особой заслугой Купманса стала пропаганда методов линейного программирования и защита приоритета Канторовича в открытии этих методов.

В США линейное программирование возникло в 1947 г. в работах Джорджа Данцига, который всегда отмечал приоритет Канторовича.

Следует подчеркнуть, что c оптимальным планом любой линейной программы автоматически связаны оптимальные цены или «объективно обусловленные оценки». Последнее громоздкое словосочетание Канторович выбрал из тактических соображений для повышения «критикоустойчивости» термина. Концепция оптимальных цен и взаимозависимость оптимальных решений и оптимальных цен — такова краткая суть экономического открытия Канторовича.

Математика и экономика

Математика изучает формы мышления. Предмет экономики — обстоятельства человеческого поведения. Математика абстрактна и доказательна, а профессиональные решения математиков не задевают обычную жизнь людей. Экономика конкретна и декларативна, а практические упражнения экономистов основательно жизнь меняют. Цель математики — безупречные истины и методы их получения. Цель экономики — индивидуальное благополучие и пути его достижения. Математика не вмешивается в личную жизнь человека. Экономика задевает его кошелёк и кошёлку. Список коренных различий математики и экономики бесконечен.

Математическая экономика — новация ХХ века. Именно тогда возникло понимание того, что экономические проблемы требуют совершенно нового математического аппарата.

Человек разумный всегда был, есть и будет человеком хозяйствующим. Практическая экономика для каждого из нас и наших предков — это арена здравого смысла. Здравый смысл представляет собой особую способность человека к мгновенным оценочным суждениям. Понимание выше здравого смысла и проявляется как осознанная адаптивность поведения. Понимание не наследуется и, стало быть, не принадлежит к числу врождённых свойств. Уникальной особенностью человека является способность пониманием делиться, превращая оценки в материальные и идеальные артефакты.

Культура — сокровищница понимания. Инвентаризация культуры — суть мировоззрения. Здравый смысл субъективен и родствен духовному подъёму веры, то есть силе, превышающей возможности фактов и логики. Проверка суждений с помощью фактов и логики — критический процесс, освобождающий человека от ошибок субъективизма. Наука — трудный путь объективизации понимания. Религиозная и научная версии мировоззрения отличаются по сути способом кодификации артефактов понимания.

Становление науки как инструмента понимания — долгий и сложный процесс. Зарождение ординального счета фиксировано палеолитическими находками, отделенными десятками тысяч лет от явления разумного и хозяйствующего человека. Экономическая практика предваряет предысторию математики, сформировавшуюся в науку доказательных вычислений в Древней Греции примерно 2500 лет тому назад.

Целенаправленное поведение людей в условиях ограниченных ресурсов стало объектом науки совсем недавно. Датой рождения экономики как науки принято считать 9 марта 1776 г. — день публикации сочинения Адама Смита «Исследование о природе и причинах богатства народов».

Консолидация мышления

Идеи правят миром. Эту банальную констатацию когда-то с глубокой иронией дополнил Джон Мейнард Кейнс. Свой капитальный труд «Общая теория занятости, процента и денег» он завершил весьма афористично: «Практические люди, мнящие себя совершенно неподверженными никаким интеллектуальным влияниям, обычно являются рабами какого-нибудь замшелого экономиста».

Политические идеи направлены на власть, экономические — на свободу от власти. Политическая экономия неразрывна не только с экономической практикой, но и с практической политикой. Политизированность экономических учений характеризует их особое положение в мировой науке. Изменчивость эпох, их технологических достижений и политических предпочтений отражается в широком распространении эмоционального подхода к экономическим теориям и ставит экономику в положение, немыслимое для остальных наук. Помимо благородных причин, для этого есть и одна довольно циничная: как бы не меняли достижения точных наук жизнь человечества, они никогда не затрагивают обыденное сознание людей столь живо и остро, как суждения об их кошельках и свободах.

Георг Кантор, создатель теории множеств, еще в 1883 г. заметил, что «сущность математики заключена в её свободе». Свобода математики отнюдь не сводится к отсутствию экзогенных ограничений на объекты и методы исследования. Свобода математики в немалой мере проявляется в предоставляемых ею новых интеллектуальных средствах овладения окружающим миром, которые раскрепощают человека, раздвигая границы его независимости. Математизация экономики — неизбежный этап пути человечества в царство свободы.

XIX век отмечен первыми попытками применения математических методов в экономике в работах Антуана Огюста Курно, Карла Маркса, Уильяма Стенли Джевонса, Леона Вальраса и его преемника по Лозаннскому университету Вильфредо Парето.

В XX веке к экономической проблематике обратились математики первой величины — Джон фон Нейман и Леонид Канторович. Первый развил теорию игр как аппарат изучения экономического поведения, а второй разработал линейное программирование как аппарат принятия решений о наилучшем использовании ограниченных ресурсов. Эти исследования фон Неймана и Канторовича занимают исключительное место в науке. Они показали, что современная математика предоставляет самые широкие возможности для экономического анализа практических проблем. Экономика приблизилась к математике. Оставаясь гуманитарной, она стремительно математизируется, демонстрируя высокую самокритичность и незаурядную способность к объективным суждениям.

Поворот в мышлении человечества, осуществлённый фон Нейманом и Канторовичем, не всегда достаточно осознаётся. Между точным и гуманитарным стилями мышления существуют принципиальные различия. Люди склонны к рассуждениям по аналогии и методу неполной индукции, рождающим иллюзию общезначимости знакомых приёмов. Различия научных технологий не всегда выделены отчетливо, что, в свою очередь, способствует самоизоляции и вырождению громадных разделов науки.

Бросающаяся в глаза разница в менталитете математиков и экономистов затрудняет их взаимопонимание и сотрудничество. Невидимы, но вездесущи перегородки мышления, изолирующие математическое сообщество от своего экономического визави. Этот статус-кво с глубокими историческими корнями всегда был вызовом для Канторовича, противоречащим его тезису о взаимопроникновении математики и экономики.

Впечатляющее многообразие направлений исследований Канторовича объединяется как его личностью, так и его методическими установками. Он всегда подчёркивал внутреннее единство науки, взаимопроникновение идей и методов, необходимых для решения самых разнообразных теоретических и прикладных проблем математики и экономики. Характерной чертой творчества Канторовича была ориентация на наиболее трудные проблемы и самые перспективные идеи математики и экономики своего времени.

Универсальная эвристика

Целостность мышления проявлялась во всем творчестве Канторовича. Идеи линейного программирования были тесно связаны с его методологическими установками в области математики. В середине 1930 годов центральное место в математических исследованиях Канторовича занимал функциональный анализ. Главным своим математическим достижением в этой области Канторович считал выделение специального класса порядково полных упорядоченных векторных пространств, которые в отечественной литературе именуют K-пространствами или пространствами Канторовича, так как в своих рабочих тетрадях Канторович писал о «моих пространствах».

Уже в первой своей работе в новой области математики, датированной 1935 г., Канторович писал: «В этой заметке я определяю новый тип пространств, которые я называю линейными полуупорядоченными пространствами. Введение этих пространств позволяет изучать линейные операции одного общего класса (операции, значения которых принадлежат такому пространству) как линейные функционалы». Так была впервые сформулировала важнейшая методологическая установка, которую теперь называют эвристическим принципом Канторовича.

Абстрактные идеи Канторовича в теории K-пространств связаны с линейным программированием и приближёнными методами анализа. Современные исследования подтвердили, что идеи линейного программирования имманентны теории K-пространств. Можно доказать, что выполнение любого из принятых вариантов формулировок принципа двойственности линейного программирования в абстрактной математической структуре с неизбежностью приводит к тому, что исходный объект является K-пространством.

Эвристический принцип Канторовича связан с одной из самых ярких страниц математики прошлого века — со знаменитой проблемой континуума. Как известно, множество имеет мощность континуума, если оно находится во взаимнооднозначном соответствии с отрезком числовой прямой. Гипотеза континуума состоит в том, что любое подмножество отрезка либо счётно, то есть допускает пересчёт, либо имеет мощность континуума. Проблема континуума состоит в ответе на вопрос о справедливости или ложности гипотезы континуума.

Гипотеза континуума была впервые высказана Кантором в 1878 г. Он был убеждён в том, что эта гипотеза является теоремой и всю жизнь тщетно пытался её доказать. В 1900 г. в Париже состоялся второй международный конгресс математиков. Гильберт выступил на открытии со своим знаменитым докладом «Математические проблемы», сформулировав 23 проблемы, решение которых XIX столетие завещало XX. Первой в докладе Гильберта стоит проблема континуума. Оставаясь нерешенной десятилетиями, она порождала глубокие исследования в основаниях математики. В итоге более чем полувековых усилий мы теперь знаем, что гипотеза континуума не может быть ни доказана, ни опровергнута.

К пониманию независимости гипотезы континуума человечество пришло в два этапа: в 1939 г. Курт Гёдель проверил, что гипотеза континуума совместна с аксиомами теории множеств, а в 1963 г. Поль Коэн доказал, что им не противоречит и отрицание гипотезы континуума. Метод форсинга Коэна был упрощён на языке нестандартных моделей в 1965 г. с использованием аппарата булевых алгебр и новой технологии математического моделирования. Прогресс возникшего на этой основе булевозначного анализа продемонстрировал фундаментальное значение расширенных K-пространств. Каждое из таких пространств, как оказалось совершенно неожиданно, служит равноправной моделью вещественной прямой и, значит, играет в математике ту же фундаментальную роль. Пространства Канторовича дали новые модели поля вещественных чисел и обрели бессмертие.

Эвристика Канторовича постоянно получает блестящее подтверждение, доказывая целостность науки и неизбежность взаимопроникновения математики и экономики.

Мемы для будущего.

Противоречие между блестящими достижениями и детской неприспособленностью к практической линии жизни — один из важных парадоксов, оставленных нам Канторовичем. Сама его жизнь стала ярким и загадочным гуманитарным феноменом. Интравертность Канторовича, очевидная в личном общении, совершенно неожиданно сочеталась с публичной экстравертностью. Отсутствие ораторского дара соседствовало с глубиной логики и особыми приёмами полемики. Его внутренняя свобода и самодостаточность, мягкость, доброта и исключительная скромность стояли в одном ряду с целенаправленной жесткостью и неутомимостью на пути к поставленной цели. Канторович дал нам образец наилучшего использования ресурсов личности в условиях внешних и внутренних ограничений.

Мемы Канторовича востребованы человечеством, что видно по учебным планам любого экономического или математического факультета в мире. Аппарат математики и идея оптимальности стали подручными орудиями любого практикующего экономиста. Новые методы поставили непреодолимую планку для традиционалистов, рассматривающих экономику как полигон технологий типа маккиавелизма, лизоблюдства, здравого смысла и форсайта.

Экономика как вечный партнёр математики избежит слияния с любой эзотерической частью гуманитарных наук, политики или беллетристики. Новые поколения математиков будут смотреть на загадочные проблемы экономики как на бездонный источник вдохновения и привлекательную арену приложения и совершенствования своих безупречно строгих методов.

Вычисление победит гадание.

С. Кутателадзе

Источник: Наука в Сибири