Парадокс Галилея

В начале XVII в. Галилео Галилей описал парадокс, который был назван его именем. В парадоксе Галилея речь идет об одно-однозначном и сюръективном соответствиях между множеством натуральных чисел {1, 2, 3, 4…} и множеством полных квадратов {1, 2, 4, 9, 16…}. Из элементов этих множеств можно составить пары, как показано в приведенной ниже таблице. Должно быть очевидно, что для каждого элемента множества А существует один, и только один, соответствующий ему элемент множества В, и наоборот:

 

Возникающий здесь парадокс состоит в том, что множество натуральных чисел и его собственное подмножество – то есть подмножество, не равное самому этому множеству, в данном случае множество полных квадратов, – имеют одинаковую мощность (то есть между ними существует одно-однозначное и сюръективное соответствие). Как такое может быть, если натуральных чисел больше, чем квадратов, то есть в одном множестве должно быть больше элементов, чем в другом? Как же они могут быть равномощными?!

 

 

Положение или предположение, противоречащее общепринятому мнению; утверждение или ощущение, кажущееся противоречивым или идущим вразрез со здравым смыслом; нечто выглядящее или представленное абсурдным, но могущее быть истинным.

 

 

Как я согласен с Нильсом Бором! Парадоксы прекрасно помогают как следует встряхнуть процесс размышлений. Галилей считал, что этот парадокс, о котором он писал в «Беседах о двух новых науках» (Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuovi scienze attenenti alla mecanica e i movimenti locali, 1638), доказывает, что в разговоре о бесконечных множествах нельзя использовать прилагательные вроде «равный», «больший» или «меньший»; более того, существам с конечным разумом вообще лучше держаться подальше от всего того, что касается бесконечности.

 

Но что из того, что наш разум конечен? Почему это должно приковывать нас к одним лишь размышлениям о конечном? Кантор и Дедекинд попытались взять это кажущееся затруднение и превратить его в основание новой теории.

 

 

Множество А можно назвать подмножеством множества В, если все элементы множества А являются элементами В. Например:

 

 

Множество А является подмножеством множества В, потому что все элементы множества А содержатся и в В. Из этого определения также следует, что любое множество является подмножеством самого себя.

Вернемся к рассмотрению парадокса Галилея. Но сначала нам нужно запомнить еще пару определений. Итак:

 

 

Если множество А – подмножество множества В, но не равно множеству В, говорят, что А – собственное подмножество В. В предыдущем примере множество А является собственным подмножеством множества В.

 

 

Множество называют бесконечным, если между ним и по меньшей мере одним из его собственных подмножеств есть как одно-однозначное (инъективное), так и сюръективное соответствие. Напомню кстати, что в случае конечных множеств собственное подмножество А не может иметь одно-однозначного соответствия с А!

 

Например, множество натуральных чисел бесконечно, потому что, как показал Галилей, оно эквивалентно одному из своих собственных подмножеств – множеству полных квадратов. Если мы хотим применить только что выученную замысловатую терминологию, можно сказать, что множество натуральных чисел и множество полных квадратов имеют равные кардинальные числа. Важно помнить следующее: в случае конечных множеств утверждение «часть всегда меньше целого» справедливо; в случае множеств бесконечных это не так. Мы уже видели более чем достаточно подтверждений этого обстоятельства: парадокс Галилея, предложенный Расселом вариант апории об Ахиллесе и черепахе из школы Зенона (см. выше раздел «Апология Зенона»), все чудеса бесконечной гостиницы Гильберта…

 

 

Некто осужден на вечные муки в аду. Другой человек проводит вечность в раю. На один день в году они меняются местами: несчастному грешнику позволяют насладиться восхитительной райской прохладой, а радостный обитатель рая пробует на вкус ужасы ада. Рассуждая с точки зрения математики (то есть расчета кардинальных чисел), есть ли различия в том, как эти двое существуют после смерти? Если вы считаете, что разница есть, объясните почему.

 

Если вы считаете, что разницы нет, ответьте на следующий вопрос: где предпочли бы провести вечность вы сами?

 

Парадокс Галилея – больше не парадокс; он попросту превратился в доказательство бесконечной природы натуральных чисел. Разумеется, можно найти много других подмножеств, равномощных множеству натуральных чисел (то есть имеющих такое же кардинальное число): множество простых чисел, множество четных чисел, множество натуральных чисел, делящихся на 101, множество чисел, точно равных факториалам, – {1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40 320, 362 880, 3 628 800…} – и так далее.