Парадокс Галилея

Галилео Галилей

В начале XVII в. Галилео Галилей описал парадокс, который был назван его именем. В парадоксе Галилея речь идет об одно-однозначном и сюръективном соответствиях между множеством натуральных чисел {1, 2, 3, 4…} и множеством полных квадратов {1, 2, 4, 9, 16…}. Из элементов этих множеств можно составить пары, как показано в приведенной ниже таблице. Должно быть очевидно, что для каждого элемента множества А существует один, и только один, соответствующий ему элемент множества В, и наоборот:
 
Возникающий здесь парадокс состоит в том, что множество натуральных чисел и его собственное подмножество – то есть подмножество, не равное самому этому множеству, в данном случае множество полных квадратов, – имеют одинаковую мощность (то есть между ними существует одно-однозначное и сюръективное соответствие). Как такое может быть, если натуральных чисел больше, чем квадратов, то есть в одном множестве должно быть больше элементов, чем в другом? Как же они могут быть равномощными?!
 
Определение парадокса
 
Положение или предположение, противоречащее общепринятому мнению; утверждение или ощущение, кажущееся противоречивым или идущим вразрез со здравым смыслом; нечто выглядящее или представленное абсурдным, но могущее быть истинным.
 
"Как замечательно, что мы столкнулись с парадоксом! Теперь у нас есть надежда чего-нибудь добиться"
Нильс Бор
 
Как я согласен с Нильсом Бором! Парадоксы прекрасно помогают как следует встряхнуть процесс размышлений. Галилей считал, что этот парадокс, о котором он писал в «Беседах о двух новых науках» (Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuovi scienze attenenti alla mecanica e i movimenti locali, 1638), доказывает, что в разговоре о бесконечных множествах нельзя использовать прилагательные вроде «равный», «больший» или «меньший»; более того, существам с конечным разумом вообще лучше держаться подальше от всего того, что касается бесконечности.
 
Но что из того, что наш разум конечен? Почему это должно приковывать нас к одним лишь размышлениям о конечном? Кантор и Дедекинд попытались взять это кажущееся затруднение и превратить его в основание новой теории.
 
Определение подмножества
 
Множество А можно назвать подмножеством множества В, если все элементы множества А являются элементами В. Например:
 
A = {Густав Малер, Густав Холст, Густаво Дудамель}.
B = {Густав Малер, Густав Климт, Густав Холст, Густаво Дудамель, Гюстав Доре, Густаво Бокколи, Гюстав Курбе, ураган «Густав», Густав V Шведский}.
 
Множество А является подмножеством множества В, потому что все элементы множества А содержатся и в В. Из этого определения также следует, что любое множество является подмножеством самого себя.
Вернемся к рассмотрению парадокса Галилея. Но сначала нам нужно запомнить еще пару определений. Итак:
 
Определение собственного подмножества
 
Если множество А – подмножество множества В, но не равно множеству В, говорят, что А – собственное подмножество В. В предыдущем примере множество А является собственным подмножеством множества В.
 
Определение бесконечных множеств Кантора – Дедекинда
 
Множество называют бесконечным, если между ним и по меньшей мере одним из его собственных подмножеств есть как одно-однозначное (инъективное), так и сюръективное соответствие. Напомню кстати, что в случае конечных множеств собственное подмножество А не может иметь одно-однозначного соответствия с А!
 
Например, множество натуральных чисел бесконечно, потому что, как показал Галилей, оно эквивалентно одному из своих собственных подмножеств – множеству полных квадратов. Если мы хотим применить только что выученную замысловатую терминологию, можно сказать, что множество натуральных чисел и множество полных квадратов имеют равные кардинальные числа. Важно помнить следующее: в случае конечных множеств утверждение «часть всегда меньше целого» справедливо; в случае множеств бесконечных это не так. Мы уже видели более чем достаточно подтверждений этого обстоятельства: парадокс Галилея, предложенный Расселом вариант апории об Ахиллесе и черепахе из школы Зенона (см. выше раздел «Апология Зенона»), все чудеса бесконечной гостиницы Гильберта…
 
Головоломка: Paradiso e inferno
 
Некто осужден на вечные муки в аду. Другой человек проводит вечность в раю. На один день в году они меняются местами: несчастному грешнику позволяют насладиться восхитительной райской прохладой, а радостный обитатель рая пробует на вкус ужасы ада. Рассуждая с точки зрения математики (то есть расчета кардинальных чисел), есть ли различия в том, как эти двое существуют после смерти? Если вы считаете, что разница есть, объясните почему.
 
Если вы считаете, что разницы нет, ответьте на следующий вопрос: где предпочли бы провести вечность вы сами?
 
Парадокс Галилея – больше не парадокс; он попросту превратился в доказательство бесконечной природы натуральных чисел. Разумеется, можно найти много других подмножеств, равномощных множеству натуральных чисел (то есть имеющих такое же кардинальное число): множество простых чисел, множество четных чисел, множество натуральных чисел, делящихся на 101, множество чисел, точно равных факториалам, – {1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40 320, 362 880, 3 628 800…} – и так далее.

«Нет ничего чудеснее человеческого мозга, нет ничего более изумительного, чем процесс мышления, ничего более драгоценного, чем результаты научных исследований»

Алексей Горький

Научный подход на Google Play

Файлы

Многообразие религиозного опыта

Происхождение власти, процветания и нищеты

БОД - Безусловный основной доход

Что такое демократический социализм?