Фрактальная размерность

 

В конце XIX века и начале XX фракталы были в моде. Конечно, их так еще не называли, поскольку термин был введен Мандельбротом только в 1974 году, но вслед за Пеано каждый начинал с того, что пробовал сперва изобразить маленькую зубчатую фигуру, а заканчивал бесконечно маленькими деталями, которые представляли собой то ли линии, то ли поверхности.

 

Среди них шведский математик Хельге фон Кох и его снежинка, немецкий ученый Давид Гильберт и его кривая, очень похожая на кривую Пеано, или японец Тейджи Такаги и его кривая бланманже. Кантор, в свою очередь, представляет новое множество: скопление точек, размером от 0 до 1. 

 

Появляются фракталы, занимающие промежуточное положение между поверхностью и объемным телом, например, губка Менгера Один из самых известных фракталов того времени придумал в 1915 году польский математик Вацлав Серпински. Этот фрактал представляет собой равносторонний треугольник, в который вписано бесконечное количество все меньших и меньших треугольников.

 

Треугольник Серпинского можно построить двумя разными способами: в одномерном пространстве и в двумерном. В одномерном пространстве середины сторон равностороннего треугольника соединяются отрезками, получаются новые треугольники, в которых операция повторяется. В двумерном пространстве шаг за шагом по этим отрезкам «вырезается» внутренность треугольника.

 

 

Хоть эти два построения производятся в разных измерениях, их конечный результат одинаков! После бесконечного количества этапов оба приводят к треугольнику Серпинского. Отсюда вопрос: треугольник Серпинского одномерен или двумерен? Линии, наслаиваясь, становятся поверхностью или поверхность становится линией при удалении внутренней части треугольника?

 

 

Чтобы ответить на этот вопрос, пора прибегнуть к нашему совершенно новому определению: измерение — это логарифм коэффициента удвоения. То есть нам нужно узнать: сколько треугольников Серпинского потребуется, чтобы собрать еще один, но уже в два раза больше? Если ответ равен двум, значит это линия. Если четырем, значит поверхность. Проблема в том, что ответ равен трем.

 

 

Вот так неожиданный исход! Чтобы сделать треугольник Серпинского в два раза больше, требуется три исходных треугольника. Если мы заглянем в нашу таблицу логарифмов, то окажемся где-то между линиями и поверхностями. Как бы ошеломляюще это ни звучало, единственный вывод, который мы можем сделать, заключается в том, что фрактальная размерность треугольника Серпинского находится в интервале между 1 и 2. Число с запятой! Крошечные треугольники, из которых состоит фрактал, настолько плотно прилегают друг к другу, что он выходит за пределы линии, но недостаточно плотно, чтобы считать его поверхностью. Треугольник Серпинского застрял где-то посередине. Будто подвешен в воздухе между измерениями. Он не линия и не поверхность. Он нечто другое.

 

 

Чтобы узнать точное значение, достаточно покопаться в таблицах Непера и найти, какому логарифму соответствует число 3. Вот и соответствующее значение: 1,585.

 

 

Итак, вот наш ответ: треугольник Серпинского относится к измерению 1,585. После такого откровения придется хорошенько пересмотреть свои взгляды. Не волнуйтесь, на это нужно время. Сам факт существования нецелых измерений настолько странный и пугающий, что возникает желание взбунтоваться. Это звучит абсурдно. Так же абсурдно, как если бы в книге страницы обозначались числом с запятой… На мой взгляд, смелость состоит в том, чтобы больше доверять логическим рассуждениям, а не собственной интуиции. Если вы все еще скептически настроены к нашему открытию, это нормально, даже здраво. Я пишу эти строки спустя почти двадцать лет с тех пор, как впервые столкнулся с фрактальной размерностью, и, думаю, могу без стыда заявить, что я до сих пор не до конца восстановился.

 

И все же надо верить математике. Уже несколько десятилетий считается, что нецелые измерения существуют и изучаются исследователями и учеными: ошибки нет. Их существование проверялись в различных контекстах. Существует целый континуум измерений, и в каждом из них можно построить фигуры.

 

 

На несколько лет фрактальную размерность убирают в стол как теоретический курьез, не имеющий реального применения. Пока Бенуа Мандельброт не узнает об исследованиях Льюиса Фрая Ричардсона по протяженности границ. Затем ему приходит в голову, что этот парадокс — задачка весьма прикладная. Мандельброт применяет теорию фрактальной размерности к кривой, имеющей форму британской береговой линии. Он достает свои логарифмические таблицы, делает расчеты — и бинго! Размерность побережья Великобритании составляет 1,25.

 

Точно так же, как кривая Пеано, оно изгибается так, что его уже нельзя рассматривать как простую линию. Но, как и треугольник Серпинского, поверхностью его тоже назвать нельзя. Побережье — где-то между. Невозможно измерить его в метрах (м^1), как длину, или в квадратных метрах (м^2), как площадь. Его необходимо измерять в соответствии с единицей измерения, характерной для фигур размерностью 1,25: в «метрах запятая двадцать пять» (м^1,25).С данными, собранными Ричардсоном, можно рассчитать, что протяженность западного побережья Великобритании составляет примерно 4600 км^1,25. Граница между Испанией и Португалией не такая извилистая, и ее размерность составляет 1,14, так что можно утверждать, что она составляет около 1250 км^1,14.

 

Из-за нашей неопытности перед лицом таких единиц эти результаты кажутся очень абстрактными. Тем не менее это наиболее точный ответ. По крайней мере, для людей, ценящих точность математики. Географы же продолжают беззаботно измерять береговые линии в километрах, получая приблизительные данные. Но это неважно, фракталы плотно вошли в нашу жизнь и найдут применение еще не в одной области.

 

Всего несколько лет назад математическое сообщество рассматривало фракталы как теоретические объекты, не имеющие никакого отношения к реальности, но Бенуа Мандельброт поддерживал прямо противоположную точку зрения: для него геометрия Евклида оторвана от реальности. Горы — это не конусы, деревья — не сферы, реки — не прямые линии. В реальном мире все скручено, измельчено, скомкано, сморщено. Неровность здесь правило, а плавность — исключение. Даже Земля не круглая, она изрезана каньонами и горами. Природа фрактальна! Вот что утверждает Мандельброт.

 

Окиньте взглядом окружающий мир, и, несомненно, вы найдете примеры. Например, растения. Папоротники, деревья, листья или некоторые цветы. Поверхность цветной капусты, вся изукрашенная деталями, имеет размерность 2,33. Размерность более бугристой брокколи составляет 2,66. Или, например, ваше тело: если бы вы сложили все минимальные ответвления ваших кровеносных сосудов, то получили бы длину в интервале между 100 000 и 200 000 км! Несколько раз обогнуть ими Землю, и вы уже достойный наследник Дидоны. Тоже самое касается и ваших легких: «поверхность», контактирующая с воздухом и кровью, настолько плотная, что практически становится объемным телом. Ее размерность составляет около 2,97.

 

В 1982 году Мандельброт опубликовал книгу под названием «Фрактальная геометрия природы». Там он приводит примеры, как математические, так и физические. Мир фракталов оказывается богатым, многогранным и разнообразным. Он одновременно интересен в своей теории и полезен на практике. Мандельброт открывает действительно новое явление, и многие математики вслед за ним начинают изучать эту область.

 

Сегодня в этой сфере ведется множество передовых исследований. Фракталы изучаются не только сами по себе, но и в рамках других разделов математики и естественных наук.

 

Но что самое удивительное, так это то, что только в XX веке наука серьезно заинтересовалась фракталами, которые столь вездесущи в нашем мире. Как и в случае с законом Бенфорда, фракталы были перед носом у наших предков на протяжении веков, и они, похоже, их не замечали. Тут недолго и параноиком стать. На несколько мгновений поднимите глаза, окиньте взглядом окружающий вас мир и подумайте: сколько еще нам предстоит открыть из того, что вы видите перед собой прямо сейчас? Что еще нужно понять в этом мире, чего еще никто не понял? Что такого интересного у нас перед глазами, к чему мы пока не проявили должного интереса? Порой великие открытия — это просто внимание к деталям.