Что такое бесконечность?

Отель Гильберта

Наша молодая пара отсутствовала более двух месяцев. Вернувшись на остров, они сразу отправились к Волшебнику.

— С возвращением! — сказал Волшебник.

— Так вы хотите узнать что-нибудь о бесконечности?

— У вас хорошая память, — ответила Аннабел.

— Ну и хорошо, — не стал возражать Волшебник. — Первое, что нам нужно сделать, — это тщательно определить наши термины. Что именно вы понимаете под словом «бесконечное»?

— Для меня оно означает отсутствие конца, — сказал Александр.

— Я бы сказала то же самое, — подтвердила Аннабел.

— Это не вполне удовлетворительно, — сказал Волшебник. — У круга нет ни начала, ни конца, и все же вы не сказали бы, что он бесконечен: он имеет лишь конечную длину, хотя и содержит бесконечное множество точек. Я хочу говорить о бесконечности в точном смысле, используемом математиками. Конечно, этому слову есть и другие применения. Например, теологи часто ссылаются на бесконечность Бога, хотя некоторые из них достаточно честны, чтобы признать, что по отношению к Богу это слово применяется не в таком смысле, как к чему-то другому. Я не хочу третировать теологическое или любое другое нематематическое применение этого слова, но я хочу ясно дать понять, что предмет нашего обсуждения — бесконечность в чисто математическом смысле этого термина. И для него нам необходимо точное определение.

Очевидно, что слово «бесконечное» является прилагательным, и прежде всего мы должны договориться о том, к какому сорту объектов оно применимо. Какого рода объекты можно считать конечными или бесконечными? При математическом применении термина такими объектами являются множества, или совокупности объектов, которые могут быть конечными или бесконечными. Мы говорим, что множество объектов имеет конечное или бесконечное число членов, и теперь нужно сделать эти понятия точными.

Ключевую роль здесь играет понятие однооднозначного соответствия между двумя множествами. Например, два множества — стадо из семи овец и роща из семи деревьев — связаны между собой так, как ни одно из них не связано с грудой из пяти камней, потому что множество из семи овец и множество из семи деревьев можно соединить по парам (например, привязав к каждому дереву по овце) так, что каждая овца и каждое дерево будут принадлежать в точности одной паре. В математической терминологии это значит, что множество из семи овец можно поставить в 1-1-значное соответствие с множеством из семи деревьев. Другой пример. Допустим, что, попав в театральный зал, вы видите, что все места заняты, никто не стоит и никто не сидит ни у кого на коленях, на каждом месте сидит один и только один человек. Тогда, не считая число людей или число мест, вы знаете, что эти числа равны, так как множество людей находится в 1-1-значном соответствии с множеством мест: каждый человек соответствует месту, которое он занимает.

Я знаю, что вы знакомы с множеством натуральных чисел, хотя можете и не знать, что оно так называется. Натуральные числа — это числа 0, 1, 2, 3, 4... То есть натуральное число — это ноль или любое целое положительное число.

— А ненатуральное число существует? — спросила Аннабел.

— Нет, о таком я никогда не слышал, — усмехнулся Волшебник, — и, должен признаться, нахожу твой вопрос очень забавным. Как бы то ни было, с этого момента я буду использовать слово число в смысле натуральное число, если не оговаривается что-то обратное. Если дано натуральное число n, то что значит утверждение, что определенное множество имеет в точности n элементов? Например, что значит утверждение о том, что на моей
правой руке в точности пять пальцев? Это значит, что я могу установить 1-1-значное соответствие между множеством пальцев моей правой руки с множеством целых положительных чисел от 1 до 5, считая, что большой палец соответствует 1, указательный — 2, средний — 3, безымянный — 4 и мизинец — 5. В общем случае для любого целого положительного числа n множество содержит (в точности) n элементов, если можно установить 1-1-значное соответствие между этим множеством и множеством целых положительных чисел от 1 до n.

Множество, содержащее n элементов, называ-ют также п-элементным множеством. Процесс установления 1-1-значного соответствия между n-элементным множеством и множеством целых положительных чисел имеет общераспространенное название — счет. Да, именно в этом и заключается сущность счета. Итак, я объяснил вам, что означает для множества иметь n элементов, где n — целое положительное число. А что, если n = 0? Что
означает для множества иметь 0 элементов? Очевидно, что это значит, что множество вообще не имеет элементов.

— Такие множества существуют? — спросил Александр.

— Есть только одно такое множество, — ответил Волшебник. — Оно называется пустым множеством и является в высшей степени полезным для математиков. Без него постоянно пришлось бы делать исключения, и все стало бы очень громоздким. Например, мы хотим говорить о множестве людей в театре в данный момент. Может случиться, что в этот момент времени в театре вообще нет людей, и в таком случае мы говорим, что множество находящихся в театре людей пусто — точно так же, как говорим о пустом театре. Его нельзя путать с театром вообще! Театр продолжает существовать как театр; просто в нем может не быть ни одного человека. Точно так же, пустое множество существует как множество, но у него нет элементов.

Я вспоминаю чудесный случай. Много лет назад я рассказал о пустом множестве милой леди-музыканту. Она удивилась и спросила: «Математики действительно применяют это понятие?» Я ответил: «Конечно применяют».
Она спросила: «Где?» «Везде», — ответил я. Она задумалась ненадолго и сказала: «О, да. Я полагаю, это похоже на музыкальные паузы». Я думаю, это была очень хорошая аналогия! Один забавный случай связан со Смаллианом. Когда он был студентом Принстонского университета, один из известных математиков во время лекции сказал, что ненавидит пустое множество. В следующей своей лекции он использовал пустое множество. Смаллиан поднял руку и сказал: «Я думал, вы сказали, что не любите пустое множество». «Я сказал, что не люблю пустое множество, — ответил профессор. — Я никогда не говорил, что не использую пустое множество!»

— Вы еще не сказали нам, что вы понимаете под «конечным» и «бесконечным», — сказала Аннабел. — Вы собираетесь объяснять?

— Именно к этому я и подхожу, — ответил Волшебник. — Все, что я сказал вам прежде, ведет к определению этих терминов. Множество конечно, если существует такое натуральное число n, что данное множество содержит в точности n элементов, а это, как мы помним, значит, что данное множество можно поставить в 1-1-значное соответствие с целыми положительными числами от 1 до n. Если такого натурального числа n не существует, то множество называется бесконечным. Это очень просто. Таким образом, 0-элементное множество конечно, 1-элементное множество конечно, 2-элементное множество конечно ... и n-элементное
множество конечно, где n — любое натуральное число. Но если для любого натурального числа n ложно, что множество содержит в точности n элементов, то это множество бесконечно. Значит, если множество бесконечно, то для любого натурального числа n, если удалить из данного множества n элементов, в нем еще останутся элементы — фактически еще останется бесконечное число элементов.

— Вы понимаете, почему сказанное верно? Давайте сначала рассмотрим простую задачу. Допустим, я удалил один элемент из бесконечного множества. То, что осталось, обязательно будет бесконечным?

— Кажется, что так! — сказала Аннабел.

— Именно так! — подтвердил Александр.

— Хорошо, вы правы, но можете ли вы это доказать?

Молодые люди задумались, но доказательство вышло трудным для них. Все казалось слишком очевидным, чтобы требовать доказательства. Однако это легко доказать из самих определений терминов «конечное» и «бесконечное». Данные определения необходимо применить для этого. Как же это доказать?

Волшебнику пришлось немного подтолкнуть молодых людей к нужному решению, но, в конце концов, они нашли доказательство, которое его устроило.

Отель Гильберта

— Бесконечные множества, — сказал Волшебник, — обладают некоторыми странными свойствами, которые иногда называют парадоксальными. На самом деле они не парадоксальны, просто слегка поражают при первом
знакомстве с ними. Это хорошо иллюстрирует известный рассказ об отеле Гильберта. Возьмем обычный отель, в котором конечное число номеров, скажем, сто. Допустим, что все номера заняты и в каждом из них один жилец. Приезжает новый человек и хочет снять номер на ночь, но ни он, ни один из жильцов отеля не желает делить свой номер с другим человеком. Тогда невозможно разместить в отеле нового приезжего, так как невозможно установить 1-1-значное соответствие между 101 человеком и 100 комнатами. Однако с бесконечным отелем (если вы можете представить себе такой) ситуация другая. В отеле Гильберта бесконечное число комнат: по одной на каждое целое положительное число. Комнаты пронумерованы последовательно: номер 1, номер 2, номер 3... номер n... и так далее. Можно представить себе, что номера отеля расположены в линейном порядке: они начинаются в определенной точке и продолжаются вправо до бесконечности. Есть первый номер, но нет последнего! Важно помнить, что нет именно последнего номера, точно так же, как нет последнего натурального числа. Далее опять предполагается, что все номера заняты: в каждом номере по одному человеку. Появляется новый приезжий и хочет снять номер. Интересно, что теперь его можно разместить в отеле. Ни он, ни один из жильцов отеля не желает делить свой номер с другим человеком, но каждый жилец отеля согласен поменять свой номер на другой, если его об этом попросят.

Как разместить в отеле нового жильца?

— Теперь перейдем к другой задаче, — продолжил Волшебник после обсуждения решения предыдущей задачи. — Рассмотрим тот же отель. Однако теперь вместо одного человека приезжает бесконечное число новых гостей: по одному на каждое целое положительное число n. Назовем старых жильцов отеля P1, Р2... Рn... а новых приезжих Q1 , Q2... Qn... Все Q-персоны желают, чтобы их разместили в отеле. Необычно то, что это возможно!

Как это сделать?

А теперь рассмотрим еще более интересную задачу. Возьмем бесконечное число отелей: по одному на каждое целое положительное число. Отели расположены на прямоугольной площади:



Вся цепь отелей управляется одной администрацией. Все номера во всех отелях заняты. Однажды в целях экономии энергии администрация решает закрыть все отели, кроме одного. Однако для этого нужно разместить всех жильцов всех отелей в единственном отеле — по одному жильцу в одном номере.

Возможно ли это?

— Вы видите, что открывают нам эти за­дачи, — продолжал Волшебник. — Они показывают, что бесконечное множество имеет странное свойство: его можно поставить в 1-1-значное соответствие с его собственной частью. Давайте определим это более точно.

Множество А называется подмножеством множества В, если каждый элемент А является элементом В. Например, если А — множество чисел от 1 до 100, В — множество чисел от 1 до 200, то А есть подмножество В. Если Е — множество четных чисел, а N — множество всех чисел, то Е есть подмножество N. Подмножество А множества В называется собственным подмножеством В, если А есть подмножество В, но не содержит все элементы В. Другими словами, А есть собственное подмножество В, если А есть подмножество В, но В не является подмножеством А. Пусть Р — это множество всех целых положительных чисел {1, 2, 3... n...}, Р- — это множество всех целых положительных чисел без единицы {2, 3... n...}. В первой задаче про отель Гильберта мы видели, что между Р и Р- можно установить 1-1-значное соответствие, и все же Р- является собственным подмножеством Р! Да, бесконечное множество может иметь странное свойство: его можно поставить в 1-1-значное соответствие со своим собственным подмножеством! Это было известно давно. В 1638 г. Галилей показал, что квадраты целых положительных чисел можно поставить в 1-1-значное соответствие с самими этими числами.



Казалось, это противоречит древней аксиоме о том, что целое больше любой из его частей.

— А разве нет? — спросил Александр.

— На самом деле противоречия нет, — ответил Волшебник. — Допустим, что А есть собственное подмножество В. Тогда в одном из смыслов слова «больше»— В больше А, а именно в том смысле, что В содержит все элементы А и еще те элементы, которых нет в А. Однако это не значит, что В численно превосходит А.

— Кажется, я не поняла, — сказала Аннабел. — Что вы имеете в виду под термином «численно превосходит»?

— Хороший вопрос! — сказал Волшебник. — Прежде всего, что, по вашему мнению, я имею в виду говоря, что А имеет ту же самую величину, что и В?

— Я полагаю, это значит, что между А и В можно установить 1-1-значное соответствие, — ответила Аннабел.

— Правильно! А что, по вашему мнению, я имею в виду, говоря, что А по величине меньше В, или что число элементов А меньше числа элементов В?

— Я полагаю, это значит, что можно установить 1-1-значное соответствие между А и собственным подмножеством В.

— Неплохая попытка, — одобрил Волшебник, — но эта версия не подходит. Такое определение прекрасно подошло бы для конечных множеств. Беда в том, что в некоторых случаях можно установить 1-1-значное соответствие между А и собственным подмножеством В, а также можно установить 1-1-значное соответствие между В и собственным подмножеством А. В таком случае вы сможете сказать, что каждое из этих множеств меньше другого? Например, пусть О — множество нечетных чисел, а Е — множество четных чисел. Очевидно, что между О и Е можно установить 1-1-значное соответствие.



Однако можно также установить 1-1-значное соответствие между О и собственным подмножеством Е.



можно также установить 1-1-значное соответствие между Е и собственным подмножеством О.



Теперь вы, конечно, не скажете, что О и Е имеют одну и ту же величину, и все же О меньше, чем Е, а Е меньше, чем О! Нет, такое определение не работает.

— Тогда какое же определение отношения «...меньше, чем...» подходит для множеств? — спросила Аннабел.

Корректное определение формулируется так. А меньше, чем В, или В больше, чем А, если выполняются следующие условия: (1) можно установить 1-1-значное соответствие между А и собственным подмножеством В; (2) невозможно установить 1-1-значное соответствие между А и всем множеством В.

Чтобы правильно сказать, что А меньше В, необходимо, чтобы выполнялись оба эти условия. Утверждение о том, что А меньше В, означает прежде всего что можно установить 1-1-значное соответствие между А и подмножеством В, а также, что любое 1-1-значное соответствие между А и подмножеством В не исчерпывает всех элементов В.

А сейчас возникает фундаментальный вопрос. Любые два бесконечных множества имеют одну и ту же величину, или есть бесконечные множества разной величины? Это первый вопрос, на который нужно ответить при построении теории бесконечности, и, к счастью, на него ответил Георг Кантор в конце позапрошлого века. Ответ вызвал бурю и породил целое новое направление в математике, ветви которого просто фантастичны!

Я сообщу вам ответ Кантора при следующей встрече. Пока что подумайте сами, в чем состоял этот ответ. Одинаковы ли по величине все бесконечные множества, или среди них есть разные?

Решения

1. Сначала покажем, что при добавлении одного элемента к конечному множеству получается конечное множество. Допустим, что множество А конечно. По определению это значит, что для некоторого натурального числа n множество А имеет n элементов. Если добавить к А еще один элемент, получится множество, имеющее n+1 элементов, которое по определению конечно.

Из этого немедленно следует, что в результате удаления элемента из бесконечного множества В, должно получиться бесконечное множество, ибо, если бы оно было конечным, то, вернув удаленный элемент, мы получили бы исходное множество В, которое было бы конечным, а по условию оно бесконечно.

2. Администрации отеля нужно всего лишь попросить каждого из постояльцев переместиться на один номер вправо. Другими словами, обитатель номера 1 переходит в номер 2, обитатель номера 2 переходит в номер 3...
обитатель номера n переходит в номер n+1. Поскольку в этом отеле нет последней комнаты (в отличие от более нормальных конечных отелей), ни один из постояльцев не окажется на улице. (В конечном отеле обитатель последнего номера оказался бы без места.) После такого перемещения номер 1 освобождается, и вновь прибывший может занять его.

Математически в данном случае нужно установить 1-1-значное соответствие между множеством всех целых положительных чисел с множеством целых положительных чисел, начинающимся с 2. Конечно, менеджер отеля мог бы поступить так же с сотней миллионов новых гостей, если бы они прибыли одновременно. Он просто попросил бы каждого постояльца переместиться на сто миллионов и одну комнату вправо (жилец номера 1 перешел бы в номер 100000001, жилец номера 2 — в номер 100000002 и так далее). Для любого натурального числа n отель мог принять n новых постояльцев, переместив обитателя каждого номера на n номеров вправо и тем самым освободив n первых номеров для новых гостей.

3. Если приезжает бесконечное множество новых гостей Q1 , Q2... Qn... нужно действовать немного иначе. Одно из ложных решений состоит в следующем. Менеджер просит каждого из старых постояльцев переместиться на один номер вправо и вселяет одного из приезжих в пустой номер 1. Затем он опять просит каждого переместиться на один номер вправо и вселяет второго гостя в свободный номер 2. Затем эта процедура повторяется снова и снова бесконечное число раз, и раньше или позже все новые гости вселяются в отель.

Ох, какое же хлопотное это решение!

Ни один человек не занимает номер постоянно, и всех гостей невозможно разместить ни за какой конечный отрезок времени: требуется бесконечное число перемещений. Нет, все можно уладить с помощью единственного перемещения. Можете сказать какого?

Это перемещение состоит в том, что каждый из старых постояльцев удваивает номер своей комнаты, то есть обитатель номера 1 переходит в номер 2, обитатель номера 2 переходит в номер 4, обитатель номера 3 переходит
в номер 6... обитатель номера n переходит в номер 2n. Разумеется, все это делается одновременно, и после такого перемещения все четные номера заняты, а бесконечное число нечетных номеров свободно. Итак, первый новый гость Q1 идет в номер 1, Q2 идет в номер 3, Q3 — в номер 5 и так далее (Qn идет в номер 2n-1).

4. Сначала «пронумеруем» всех постояльцев всех номеров во всех отелях в соответствии со следующим планом:



Итак, каждый постоялец «помечен» целым положительным числом. Затем всех просят выйти из номеров и немного подождать на улице. После этого администрация закрывает все отели, кроме одного, и просит каждого из гостей занять тот номер отеля, который был ему предназначен: постоялец с номером n идет в номер n.

Отрывок из книги Рэймонда Смаллиана "Сатана, Кантор и бесконечность, а также другие головоломки"