Двоичная система счисления

Наконец, мы выпишем все единички в ряд и получим ответ: 111111111111111. Складывать и перемножать числа в единичной системе счисления существенно проще, чем десятичные или римские числа. Разумеется, такая простота вычислений дается ценой титанических затрат внимания и времени. Никому не захочется прибегать к этому методу, чтобы перемножить 47 и 924.

Для записи чисел в десятичной системе счисления используют десять символов, располагаемых в разных комбинациях в ряд по горизонтали. Значение символа зависит от его места в ряду. 29 и 92 означают разные числа, потому что 2 и 9 занимают разные позиции. 29 означает «два десятка и девять единиц». 5804 означает «пять тысяч, восемь сотен, ни одного десятка и четыре единицы». Позиция цифры в десятичном числе означает, на какую степень десяти мы ее умножаем. Напомним, что показатель степени означает, сколько раз мы перемножаем основание: например, 10³ = 10 × 10 × 10. Естественно, 101 = 10. По договоренности, 100 = 1. Это логично, так как каждая следующая степень десяти в десять раз больше предыдущей. Разряды растут справа налево: единицы, десятки, сотни, тысячи, десятки тысяч и т. д. Иными словами, запись 5804 означает:

 

5 × 10³ + 8 × 10² + 0 × 101 + 4 × 100
 

Чем больше символов в десятичном числе, тем труднее его прочесть. Обычно каждый четвертый разряд отделяют пробелом или запятой. В англоязычных странах в качестве разделителя разрядов используется запятая, в России – неразрывный пробел, который ставится только в числах с пятью и более разрядами. Двоичная система устроена схожим образом, просто позиция в записи означает, на какую степень двух (а не десяти) мы должны умножить эту конкретную цифру. В двоичной системе счисления используются всего два символа: 0 и 1. Разряды здесь тоже растут справа налево, обозначая количество единиц, двоек, четверок, восьмерок и т. д. Например, в двоичной записи 10110 означает:

Заметьте, что в таблице умножения 10 означает число два. Сложение двоичных чисел устроено так же, как в десятичной системе. Например, нам нужно найти сумму 10100₂ и 1110₂. Расположим эти числа друг над другом:

Дальше нужно двигаться справа налево, складывая цифры в каждом столбце и при необходимости перемещая единицу на столбец влево. В нашем случае мы сложим два нуля и получим ноль:

Дальше идет столбец двоек. Мы складываем 1 и 0 (переносить ничего не требуется):

Дальше – столбец четверок. Мы складываем 1 и 1, получаем 10, пишем 0, держим 1 в уме и переносим на столбец влево:

Заканчиваем на столбце, означающем, сколько раз в числе встречается 16. Сложение дает 10, мы пишем 0 в текущем столбце и 1 в столбце с разрядом 32:

Мы обнаружили, что 10100 + 1110 = 100010.
 

Переведем это на язык десятичных чисел:
 

10100₂ = 20, 1110₂ = 14, 100010₂ = 34.
 

Разумеется, 20 + 14 = 34.
 

Умножение в двоичной системе проще, чем в десятичной. Достаточно усвоить два принципа: сложение двоичных чисел (мы в нем только что разобрались) и умножение на степени двойки.

Умножение числа на 10 в десятичной системе не представляет сложности: мы просто добавляем цифру 0 справа: 23 × 10 = 230. Точно так же выглядит умножение на 2 в двоичной системе: 1101 × 10 = 11010. В случае десятичных чисел это очевидно, в случае двоичных 1101 означает:

1 × 8 + 1 × 4 + 0 × 2 + 1 × 1.
 

Умножение на 2:
 

1 × 16 + 1 × 8 + 0 × 4 + 1 × 2 + 0 × 1
 

Лишний ноль на конце дает 11010.
 

Умножение на 4, 8 и другие степени двойки тоже просто: например, умножение на 810 (10002) равнозначно приращению трех нулей с правой стороны числа. Итак, умножение превращается в игру «перемести-и-добавь-цифры». Проиллюстрируем это на примере умножения 11010 на 1011. Для начала запишем второе число так:

1011 = 1000 + 10 + 1.

Умножение на 11010 можно представить так:
 

11010 × 1011 = 11010 × (1000 + 10 + 1) = 11010 × 1000 + 11010 × 10 + 11010 × 1 = 11010000 + 110100 + 11010.
 

Удобнее умножать в столбик:

А вот и ответ:

Давайте переведем числа в десятичные, чтобы удостовериться, что все правильно:
 

110102 = 16 + 8 + 2 = 26;

10112 = 8 + 2 + 1 = 11;

1000111102 = 256 + 16 + 8 + 4 + 2 = 286.
 

Мы не ошиблись: 26 × 11 = 286.

В десятичной системе мы можем записывать не только целые числа. Если поставить в конце запятую, мы получим новые места для цифр: по мере движения вправо степени десяти будут все меньше. Например, 34,27 – это компактный способ записи такого выражения:



Двоичная система тоже позволяет записывать дробные значения. Каждую следующую цифру после запятой (в случае с двоичной системой неправильно говорить «десятичная запятая», лучше называть ее двоичной запятой, или запятой в позиционном представлении числа) мы умножаем на предыдущую степень двойки. Например, 101,011₂ означает:

Непривычный способ записать одну вторую: 0,12! Есть и другие системы счисления, помимо десятичной, единичной и двоичной. Программисты нередко пользуются шестнадцатеричной системой счисления. В десятичной системе 10 цифр (от 0 до 9), в шестнадцатеричной нам нужно 16 разных символов, поэтому числа от 10 до 15 обозначают с помощью букв от A до F. В третичной системе мы пользуемся цифрами 0, 1 и 2, здесь все строится на степенях тройки. Скажем, 1102₃ означает:

 

1 × 27 + 1 × 9 + 0 × 3 + 2 × 1 = 38
 

В дробях первая позиция справа от запятой означает умножение на одну третью, вторая позиция – на одну девятую и т. д.:

Если представить 42 в виде суммы степеней двойки, мы увидим, что это 101010₂. А число 11011₂ можно представить как 16 + 8 + 2 + 1 = 27.