Десятичная система счисления
Идея, что язык – просто код, вполне логична. Многие как минимум пытались выучить иностранный язык в старших классах, поэтому сложно поспорить, что кошка в других языках может называться cat, gato, chat, Katze, kot или καττα.
Кажется, что числа менее пластичны в культурном контексте. Независимо от того, на каком языке мы говорим, как произносим числительные, практически любой собеседник на этой планете, скорее всего, будет записывать числа точно так, как и мы.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Не потому ли математику называют универсальным языком?
Несомненно, числа – самый абстрактный код, с которым приходится иметь дело в повседневной жизни. Видя число, мы не пытаемся его мгновенно с чем-то соотнести.
3
Можно представить три яблока или три других предмета, но с тем же успехом можно узнать из контекста, что речь идет о дне рождения ребенка, телевизионном канале, хоккейном счете, количестве чашек муки, нужных для приготовления пирога. Уже потому, что числа столь абстрактны, нам сложнее понять, что три яблока можно обозначить не только числом 3.
Большая часть этой главы и вся следующая помогут убедиться, что ровно такое же количество яблок можно обозначить и числом 11.
Для начала давайте расстанемся с мыслью, что в числе 10 есть нечто особенное. Неудивительно, что в большинстве цивилизаций сложились системы счисления на основе числа 10 (или 5). С глубокой древности люди считали на пальцах. Если бы у человеческой особи было восемь или двенадцать пальцев, то все счетные системы были бы немного иными.
Именно поэтому система счисления с основанием 10, также именуемая десятеричной, выбрана совершенно произвольно. Мы придаем десятке чисел поистине магическое значение и придумали для нее особые названия. Десять дней образуют декаду, десять десятилетий – век, десять веков – тысячелетие. Тысяча тысяч – это миллион, тысяча миллионов – миллиард. Все эти числа являются степенями числа 10.
101 = 10
102 = 100
103 = 1000 (тысяча)
104 = 10 000
105 = 100 000
106 = 1 000 000 (миллион)
107 = 10 000 000
108 = 100 000 000
109 = 1 000 000 000 (миллиард)
Большинство историков полагают, что числа изначально были придуманы для подсчета предметов, например людей, имущества и торговых сделок. Если у кого-то было четыре утки, то их можно было обозначить в виде четырех нарисованных уточек.
Наконец человек, чья работа заключалась в рисовании уток, подумал: «Зачем рисовать четырех уток? Не изобразить ли одну и обозначить, что на самом деле уток четыре, скажем, черточками?»
Когда потребовалось нарисовать 27 уток, черточки выглядели нелепо.
Подумалось: «Должен быть другой способ, лучше», – так появилась система чисел.
Из всех древнейших числовых систем до сих пор в ходу римские цифры. Они встречаются на циферблатах, ими выбивают даты на памятниках, нумеруют некоторые страницы в книгах, используют при подсчете некоторых элементов и – что наиболее раздражает – при указании информации об авторских правах в кинофильмах. (Иногда чтобы ответить на вопрос, в каком году был снят фильм, нужно молниеносно расшифровать какие-нибудь MCMLIII в хвосте титров.)
Двадцать семь уток римскими цифрами будет так.
Принцип довольно прост: X означает 10 черточек, V – пять. Вот римские цифры, сохранившиеся до наших дней.
I V X L C D M
I – это единица; она похожа на черточку или один поднятый палец. V – это пятерка; возможно, этим символом обозначалась ладонь. Из двух V составляется X, то есть десятка.
L – это пятьдесят, C – буква, с которой начинается латинское centum, – сто, D – пять сотен, M – первая буква в слове mille – тысяча.
Хотя мы, возможно, с этим не согласимся, но на протяжении веков считалось, что римские цифры удобны для сложения и вычитания, именно поэтому они так долго использовались в Европе при ведении бухгалтерии. Действительно, при сложении двух римских чисел просто выписываются рядом все символы из двух этих чисел, а затем применяется всего несколько правил: пять I образуют V, две V–X, пять X–L и т. д.
Сложно умножать и делить числа, записанные римскими цифрами. Многие другие ранние числовые системы (например, греческая) аналогично не подходят для сложных математических действий. Древние греки разработали превосходную геометрию, которая до сих пор практически без изменений преподается в школах, но так ли известна древнегреческая алгебра?
Цифры, которыми мы пользуемся сегодня, называются индо-арабскими. Они возникли в Индии, но были занесены в Европу арабскими математиками. Особенно прославился персидский математик Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми (от имени которого происходит слово «алгоритм»), написавший около 825 года книгу по алгебре, где пользовался индийскими цифрами. Эта книга была переведена на латынь около 1120 года, оказала большое влияние на Европу и стимулировала переход с римских цифр на современные. Индо-арабская система чисел отличалась от более ранних.
• Индо-арабская система называется позиционной, то есть любая цифра может обозначать в ней разное количество в зависимости от того, в какой части числа стоит. Положение цифры в числе не менее (и даже более) важно, чем значение самой цифры. И в 100, и в 1 000 000 всего по одной единице, но всем известно, что миллион гораздо больше сотни.
• Практически во всех ранних системах счисления было нечто, чего нет в индо-арабской системе, а именно: отдельный символ для обозначения десятки. В нашей системе счисления такой символ отсутствует.
• С другой стороны, практически во всех ранних числовых системах отсутствовало кое-что, имеющееся в индо-арабской системе и, по сути, более важное, чем символ десятки, – символ нуля.
Да, ноль. Скромный ноль, несомненно, одно из важнейших изобретений в истории чисел и математики. Он обеспечивает позиционную запись, поскольку позволяет отличить 25 от 205 и от 250. Ноль упрощает многие математические действия, неудобные в непозиционных системах, особенно умножение и деление.
Вся структура индо-арабских чисел проясняется, если обратить внимание, как мы их произносим. Например, 4825: «Четыре тысячи восемьсот двадцать пять». Это означает:
- четыре тысячи,
- восемь сотен,
- два десятка
- и еще пять.
Либо можно разложить это число на компоненты, например:
4825 = 4000 + 800 + 20 + 5.
Или еще мельче, вот так:
4825 = 4 × 1000 +
8 × 100 +
2 × 10 +
5 × 1.
Или, воспользовавшись степенями десятки, записать следующее:
4825 = 4 × 103 +
8 × 102 +
2 × 101 +
5 × 100.
Напоминаю: любое число в степени 0 равно единице. Каждая позиция в многозначном числе имеет определенное значение, как показано на следующей схеме. В семи окошках можно записать любое число от 0 до 9 999 999.
Каждая позиция соответствует степени десятки. Специального символа для десятки не требуется, поскольку 1 просто ставится в нужную позицию, а 0 используется в качестве символа-заполнителя.
Самое замечательное в данном случае в том, что дробные величины, обозначаемые цифрами после десятичной запятой, подчиняются той же закономерности. Число 42 705,684 равно:
4 × 10 000 +
2 × 1000 +
7 × 100 +
0 × 10 +
5 × 1 +
6 ÷ 10 +
8 ÷ 100 +
4 ÷ 1000.
Это число можно записать и без деления:
4 × 10 000 +
2 × 1000 +
7 × 100 +
0 × 10 +
5 × 1 +
6 × 0,1 +
8 × 0,01 +
4 × 0,001.
Или при помощи степеней десятки:
4 × 104 +
2 × 103 +
7 × 102 +
0 × 101 +
5 × 100 +
6 × 10–1 +
8 × 10–2 +
4 × 10–3.
Обратите внимание: сначала степень доходит до нуля, а затем получает отрицательные значения. Известно, что 3 плюс 4 равно 7. Аналогично 30 плюс 40 равно 70, 300 плюс 400 равно 700 и 3000 плюс 4000 равно 7000. В этом и заключается красота индо-арабской системы. Складывая сколь угодно длинные десятеричные числа, мы фактически решаем эту задачу поэтапно. На каждом этапе мы всего лишь складываем однозначные числа. Именно поэтому кто-то давным-давно заставлял вас запоминать таблицу сложения.
Найдите в верхнем ряду и в левом столбце два числа, которые хотите сложить. Следуйте от них по прямой к центру, пока линии не пересекутся, и получите сумму. Например, 4 плюс 6 равно 10.
Аналогично, если требуется перемножить два десятеричных числа, выполняется более сложная процедура, которая тем не менее подразделяется на мелкие этапы, связанные с перемножением однозначных десятеричных чисел. Помните, в начальной школе мы должны были учить и таблицу умножения.
Главная прелесть позиционной нотации не в том, как хорошо она работает, а в том, как хорошо она применима в системах счисления, основанных не на десятке. Наша система счисления кому-то может показаться неудобной. Например, у большинства героев-мультяшек всего по четыре пальца на руке (или на лапе), поэтому им было бы сподручнее пользоваться системой с основанием 8. Довольно интересно следующее: большая часть правил, известных нам по десятеричной системе, вполне применима и в восьмеричной.
Альтернативы десятке
Число 10 – исключительно важное для человека. У большинства из нас по десять пальцев на руках и на ногах, и мы, конечно, предпочитаем, чтобы и тех, и других было по десять. Поскольку на пальцах удобно считать, человек выстроил всю систему счисления на основании числа 10.
Как упоминалось в предыдущей главе, такая система называется «система с основанием 10», или «десятеричная». Она кажется нам столь естественной, что поначалу сложно даже найти альтернативу. Действительно, когда видим число 10, нас тянет представить, что оно означает, например, десять уток.
Единственная причина, по которой возникает такая ассоциация, в том, что уток столько же, сколько и пальцев у нас на руках. Если бы у человека было иное количество пальцев, то и считали бы мы по-другому, и число 10 означало бы нечто иное. Например, число 10 может указывать и на такое количество уток.
Или так.
Или даже так.
Как только мы поймем, в каком случае 10 означает двух уток, можно будет приступать к разговору о представлении чисел при работе с переключателями, проводами, лампочками и реле (далее – и с компьютерами).
Что, если бы у людей было всего по четыре пальца на руке, как у мультяшек? Вероятно, нам бы даже не пришло в голову разрабатывать десятеричную систему счисления. Напротив, мы бы считали нормальным, естественным, разумным, неизбежным, неопровержимым и бесспорно верным построить систему счисления с основанием 8. Она называлась бы не десятеричной, а восьмеричной, или системой с основанием 8.
Если бы наша система счисления была построена на основании 8, то вот этот символ нам бы не требовался:
9.
Покажите этот символ мультяшке, и герой спросит: «Что это? Зачем это нужно?» Если задуматься, то и без этого символа можно обойтись:
8.
В десятеричной системе счисления нет специального символа для десятки, соответственно в восьмеричной системе счисления его нет для восьмерки. В десятеричной системе счисления мы считаем: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а потом 10. В восьмеричной системе считаем: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, а потом что? Цифры кончились. Остается лишь 10, и это правильный ответ. В восьмеричной системе за 7 следует 10. Но в таком случае 10 соответствует не десяти пальцам, которые есть на двух руках у человека. В восьмеричной системе 10 – это количество пальцев у мультяшек.
Давайте считать дальше на четырехпалых ступнях.
Имея дело с иными системами счисления, кроме десятеричной, можно не путаться, если называть число 10 «один-ноль». Аналогично 13 будет «один-три», а 20 – «два-ноль». Чтобы вообще обойтись без путаницы, можно говорить «два-ноль с основанием восемь» или «два-ноль восьмеричных».
Даже когда у нас кончатся пальцы на руках и ногах, можно и далее считать в восьмеричной системе. В принципе, процесс не отличается от счета в десятеричной, просто мы пропускаем все числа, в которых есть 8 или 9. Естественно, конкретные числа обозначают уже другие величины.
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 100…
Последнее число называется «один-ноль-ноль». Это общее количество пальцев мультяшки, умноженное само на себя.
При записи десятеричных и восьмеричных чисел можно избежать путаницы, записывая все числа с нижними индексами, обозначающими принадлежность к той или иной системе счисления. Нижний индекс ДЕСЯТЬ означает «основание десять», то есть десятеричную систему, а нижний индекс ВОСЕМЬ – «основание восемь», или восьмеричную систему.
Итак, Белоснежка повстречала 7ДЕСЯТЬ, или 7ВОСЕМЬ, гномов.
У мультяшек по 8ДЕСЯТЬ, или 10ВОСЕМЬ, пальцев на руке.
Бетховен написал 9ДЕСЯТЬ, или 11ВОСЕМЬ, симфоний.
У человека 10ДЕСЯТЬ, или 12ВОСЕМЬ, пальцев на руках.
В году 12ДЕСЯТЬ, или 14ВОСЕМЬ, месяцев.
В двух неделях 14ДЕСЯТЬ, или 16ВОСЕМЬ, дней.
Паспорт выдают в 16ДЕСЯТЬ, или 20ВОСЕМЬ, лет.
В сутках 24ДЕСЯТЬ, или 30ВОСЕМЬ, часов.
В латинице 26ДЕСЯТЬ, или 32ВОСЕМЬ, букв.
В английской кварте 907ДЕСЯТЬ, или 1134, граммов.
В покерной колоде 52ДЕСЯТЬ, или 64ВОСЕМЬ, карт.
Самый известный адрес по Сансет-Стрип – 77ДЕСЯТЬ, или 115ВОСЕМЬ.
Длина поля для американского футбола – 91ДЕСЯТЬ, или 131ВОСЕМЬ, метров.
На старте женского одиночного зачета в Уимблдонском турнире – 128ДЕСЯТЬ, или 200ВОСЕМЬ, участниц.
Площадь Мемфиса равна 640ДЕСЯТЬ, или 1000ВОСЕМЬ, квадратных километров.
Обратите внимание: в этом списке есть несколько круглых восьмеричных чисел. Круглым называется число, оканчивающееся на один или несколько нулей. Если десятеричное число оканчивается двумя нулями, значит, оно кратно 100ДЕСЯТЬ, а 100ДЕСЯТЬ – это 10ДЕСЯТЬ, умноженное на 10ДЕСЯТЬ. В восьмеричной системе два нуля в конце числа означают, что число кратно 100ВОСЕМЬ, то есть 10ВОСЕМЬ умножить на 10ВОСЕМЬ (или 8ДЕСЯТЬ умножить на 8ДЕСЯТЬ, что равно 64ДЕСЯТЬ).
Возможно, вы также заметили, что такие круглые восьмеричные числа, как 100ВОСЕМЬ, 200ВОСЕМЬ и 400ВОСЕМЬ, в десятеричной системе соответствуют 64ДЕСЯТЬ, 128ДЕСЯТЬ и 256ДЕСЯТЬ, и все эти десятеричные числа – степени двойки. Это логично. Например, число 400ВОСЕМЬ, равно 4ВОСЕМЬ умножить на 10ВОСЕМЬ и умножить на 10ВОСЕМЬ, и все это – степени двойки. Всякий раз при умножении степени двойки на степень двойки мы получаем еще одну степень двойки.
В следующей таблице даны некоторые степени двойки в десятеричном и восьмеричном представлении.
Круглые числа из правого столбца подсказывают, что системы счисления, отличающиеся от десятеричной, удобны для работы с двоичными кодами. Структурно восьмеричная система аналогична десятеричной. Отличия лишь в деталях. Например, каждая позиция в восьмеричном числе – это цифра, умноженная на степень восьмерки.
Следовательно, восьмеричное число 3725ВОСЕМЬ можно разбить:
3725ВОСЕМЬ = 3000ВОСЕМЬ + 700ВОСЕМЬ + 20ВОСЕМЬ + 5ВОСЕМЬ.
Эту последовательность можно переписать несколько иначе. Например, при помощи степеней восьмерки в их десятеричном представлении:
3725ВОСЕМЬ = 3 × 512ДЕСЯТЬ +
7 × 64ДЕСЯТЬ +
2 × 8ДЕСЯТЬ +
5 × 1.
То же самое, записанное при помощи степеней восьмерки в восьмеричном представлении:
3725ВОСЕМЬ = 3 × 1000ВОСЕМЬ +
7 × 100ВОСЕМЬ +
2 × 10ВОСЕМЬ +
5 × 1.
А можно сделать вот так:
3725ВОСЕМЬ = 3 × 83 +
7 × 82 +
2 × 81 +
5 × 80.
Если выполнить эти расчеты в десятеричной системе, получится 2005ДЕСЯТЬ. Таким образом восьмеричные числа преобразуются в десятеричные. Восьмеричные числа складываются и перемножаются в точности как десятеричные. Разница в том, что таблицы умножения и сложения для восьмеричных чисел строятся иначе. Вот таблица сложения восьмеричных чисел.
Например, 5ВОСЕМЬ + 7ВОСЕМЬ = 14ВОСЕМЬ, то есть восьмеричные числа можно складывать в столбик.
Начинаем справа: 5 плюс 3 равно 10, 0 пишем, 1 в уме; 1 плюс 3 плюс 4 равно 10, 0 пишем, 1 в уме; 1 плюс 1 плюс 6 равно 10. Аналогично дважды два и в восьмеричной системе равно четырем. Но трижды три не равно девяти. А как? Трижды три равно 11ВОСЕМЬ, это столько же, сколько и 9ДЕСЯТЬ. Далее полностью приведена восьмеричная таблица умножения.
Здесь у нас 4 × 6 равно 30ВОСЕМЬ, но 30ВОСЕМЬ равно 24ДЕСЯТЬ, то есть 4 × 6 в десятеричной системе. Восьмеричная система счисления столь же полноценна, как и десятеричная. Мы разработали систему счисления для мультяшек. Теперь давайте создадим такую же систему для омаров. У омаров нет пальцев, но на кончиках передних лап у них клешни. Омарам подойдет четверичная система счисления с основанием четыре.
Вот как считают в четверичной системе: 0, 1, 2, 3, 10, 11, 12, 13, 20, 21, 22, 23, 30, 31, 32, 33, 100, 101, 102, 103, 110 и т.д.
Не буду подробно останавливаться на четверичной системе, поскольку мы приближаемся к более важному вопросу. Как видите, здесь каждая позиция в числе соответствует степени четверки.
В четверичной системе счисления число 31 232 можно записать следующим образом:
31 232ЧЕТЫРЕ = 3 × 256ДЕСЯТЬ +
1 × 64ДЕСЯТЬ +
2 × 16ДЕСЯТЬ +
3 × 4ДЕСЯТЬ +
2 × 1ДЕСЯТЬ.
Что равнозначно записи:
31 232ЧЕТЫРЕ = 3 × 10 000ЧЕТЫРЕ +
1 × 1000ЧЕТЫРЕ +
2 × 100ЧЕТЫРЕ +
3 × 10ЧЕТЫРЕ +
2 × 1ЧЕТЫРЕ.
А это то же самое, что и:
31 232ЧЕТЫРЕ = 3 × 44 +
1 × 43 +
2 × 42 +
3 × 41 +
2 × 40.
Если мы выполним вычисления в десятичной системе счисления, то обнаружим, что 31 232ЧЕТЫРЕ – это 878ДЕСЯТЬ. Теперь мы сделаем еще один прыжок, на этот раз окончательный. Представьте, что мы дельфины и можем использовать для подсчета два плавника. В данном случае мы имеем дело с системой счисления с основанием 2, или двоичной, или, иначе, бинарной (от лат. binary – «двойной», «состоящий из двух частей»). Понятно, что у нас будет только две цифры: 0 и 1. С нулем и единицей мало что можно сделать, и, чтобы привыкнуть к двоичным числам, требуется практика. Проблема в том, что сразу заканчиваются цифры. Например, на следующем рисунке показано, как дельфин считает на плавниках.
Да, в двоичной системе счисления за 1 следует 10. Это странно, однако это не должно удивлять. Независимо от того, какую систему счисления мы используем, всякий раз, когда у нас заканчиваются отдельные цифры, первое двузначное число всегда 10. В двоичной системе счисления мы считаем:
0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111, 10000, 10001…
Эти числа могут показаться большими, но на самом деле это не так. Скорее, двоичные числа очень быстро становятся длинными, а не большими.
Количество голов у людей – 1ДЕСЯТЬ, или 1ДВА.
Количество плавников у дельфинов – 2ДЕСЯТЬ, или 10ДВА.
Количество чайных ложек в столовой ложке – 3ДЕСЯТЬ, или 11ДВА.
Количество сторон у квадрата – 4ДЕСЯТЬ, или 100ДВА.
Количество пальцев на одной человеческой руке – 5ДЕСЯТЬ, или 101ДВА.
Количество конечностей у насекомых – 6ДЕСЯТЬ, или 110ДВА.
Количество дней в неделе – 7ДЕСЯТЬ, или 111ДВА.
Количество музыкантов в октете – 8ДЕСЯТЬ, или 1000ДВА.
Количество планет в Cолнечной системе, включая Плутон, – 9ДЕСЯТЬ, или 1001ДВА.
Количество центнеров в тонне – 10ДЕСЯТЬ, или 1010ДВА.
В двоичном числе, состоящем из большого количества цифр, позиции знаков соответствуют степени двойки.
Таким образом, каждый раз, когда встречаем двоичное число, состоящее из единицы и следующих за ней нулей, мы понимаем, что это число соответствует какой-либо из степеней двойки. Эта степень равна количеству нулей в этом двоичном числе. Вот наша расширенная таблица степеней двойки, демонстрирующая такое правило.
Допустим, у нас есть двоичное число 101101011010. Его можно записать так:
101101011010ДВА = 1 × 2048ДЕСЯТЬ +
0 × 1024ДЕСЯТЬ +
1 × 512ДЕСЯТЬ +
1 × 256ДЕСЯТЬ +
0 × 128ДЕСЯТЬ +
1 × 64ДЕСЯТЬ +
0 × 32ДЕСЯТЬ +
1 × 16ДЕСЯТЬ +
1 × 8ДЕСЯТЬ +
0 × 4ДЕСЯТЬ +
1 × 2ДЕСЯТЬ +
0 × 1ДЕСЯТЬ.
Или:
101101011010ДВА = 1 × 211 +
0 × 210 +
1 × 29 +
1 × 28 +
0 × 27 +
1 × 26 +
0 × 25 +
1 × 24 +
1 × 23 +
0 × 22 +
1 × 21 +
0 × 20.
Если просто сложить все слагаемые в десятичной системе, получим 2048 + 512 + 256 + 64 + 16 + 8 + 2, что составляет 2906ДЕСЯТЬ.
Для более легкого преобразования двоичных чисел в десятичные можно использовать следующую схему.
Эта схема позволяет конвертировать числа, содержащие до восьми двоичных разрядов; ее можно легко расширить. Введите до восьми цифр в восемь верхних полей, по одной цифре в каждый квадрат. Выполните восемь операций умножения и введите их результаты в восемь нижних полей. Сложите числа в этих восьми полях для получения окончательного результата. Этот пример демонстрирует процесс нахождения десятичного эквивалента двоичного числа 10010110.
Преобразовать десятичные числа от 0 до 255 в двоичные не так просто, однако вы можете использовать следующую схему.
Процесс преобразования сложнее, чем кажется, поэтому внимательно следуйте указаниям. Поместите десятичное число (меньшее или равное 255) в верхний левый квадрат. Разделите это число (делимое) на первый делитель (128), как показано на схеме. Поместите целую часть в нижнее поле (левый нижний квадрат), а остаток от деления – в поле справа (второй квадрат в верхнем ряду). Этот первый остаток является делимым, которое будет участвовать в следующей операции деления, где в качестве делителя используется число 64.
Помните, что каждая целая часть будет равна либо 0, либо 1. Если делимое меньше делителя, то целая часть от деления будет равна 0, а остаток – самому делимому. Если делимое больше или равно делителю, то целая часть от деления будет равна 1, а остаток – разности между делимым и делителем. Вот как преобразуется число 150.
Если вам нужно сложить или перемножить два двоичных числа, вероятно, будет легче выполнить вычисления в двоичной системе, не преобразуя числа в десятичные. Это должно понравиться. Представьте, как быстро вы могли бы освоить сложение, если бы потребовалось запомнить только это.
Давайте с помощью этой таблицы сложим два двоичных числа.
Начиная с правого столбца: 1 плюс 0 равно 1. Второй столбец справа: 0 плюс 1 равно 1. Третий столбец: 1 плюс 1 равно 0, 1 в уме. Четвертый столбец: 1 (перенесенное значение) плюс 0 плюс 0 равно 1. Пятый столбец: 0 плюс 1 равно 1. Шестой столбец: 1 плюс 1 равно 0, 1 в уме. Седьмой столбец: 1 (перенесенное значение) плюс 1 плюс 0 = 10.
Таблица умножения даже проще, чем таблица сложения, поскольку ее можно составить, используя два базовых правила умножения: умножая на 0, получаем 0, умножение на 1 не влияет на исходное число.
Вот процесс умножения числа 13ДЕСЯТЬ на число 11ДЕСЯТЬ в двоичной системе счисления.
Результат – 143ДЕСЯТЬ. Люди, работающие с двоичными числами, часто предваряют их нулями, то есть пишут нули слева от первой 1, например 0011 вместо 11. Это совершенно не влияет на значение, а служит исключительно для красоты. В следующей таблице перечислены первые шестнадцать двоичных чисел и их десятичные эквиваленты.
Давайте рассмотрим список двоичных чисел. Обратите внимание на каждый из четырех вертикальных столбцов, состоящих из нулей и единиц, и заметьте, как эти цифры чередуются в столбцах сверху вниз:
• в крайнем правом столбце – 0 и 1;
• во втором столбце справа – два 0 и две 1;
• в следующем столбце – четыре 0 и четыре 1;
• в крайнем левом столбце – восемь 0 и восемь 1.
В этом есть порядок, не так ли? Действительно, вы можете легко написать следующие шестнадцать двоичных чисел, просто повторив первые шестнадцать и добавив 1 в начале.
Вот еще один способ смотреть на это: при выполнении подсчета в двоичном формате крайняя цифра справа (также называемая младшим разрядом) поочередно принимает значения 0 и 1. Каждый раз, когда она изменяется с 1 на 0, вторая цифра справа, следующая за младшим разрядом, также изменяется либо с 0 на 1, либо с 1 на 0. Так что каждый раз, когда двоичная цифра изменяется с 1 на 0, следующая за ней цифра также меняется либо с 0 на 1, либо с 1 на 0.
При записи больших десятичных чисел мы используем запятые через каждые три знака для облегчения их восприятия. Например, если вы увидите число 12000000, вероятно, придется подсчитать количество цифр, однако, увидев число 12,000,000, вы сразу поймете, что оно означает 12 миллионов.
Двоичные числа очень быстро могут стать весьма длинными. Например, 12 миллионов в двоичной системе счисления записывается так: 101101110001101100000000. Чтобы такое число было легче воспринимать, каждые четыре двоичных разряда обычно разделяются пробелами (1011 0111 0001 1011 0000 0000). Далее в этой книге мы рассмотрим более сжатый способ записи двоичных чисел.
Сведя систему счисления к двоичным цифрам 0 и 1, мы достигли предела. Далее упрощать некуда. Более того, двоичная система соединяет арифметику с электричеством. В предыдущих главах мы рассматривали переключатели, провода, лампочки и реле, и любой из этих объектов может отображать двоичные цифры 0 и 1.
Провод может представлять собой двоичную цифру. Если по нему идет ток, то двоичная цифра равна 1, если нет – 0. Переключатель может представлять собой двоичную цифру. Если переключатель включен, или замкнут, то двоичная цифра равна 1, если переключатель выключен, или разомкнут, то двоичная цифра – 0. Лампочка может представлять собой двоичную цифру. Если лампочка горит, то двоичная цифра равна 1, если нет – 0. Телеграфное реле может представлять собой двоичную цифру. Если реле замкнуто, то двоичная цифра равна 1, если разомкнуто – 0. Двоичные цифры имеют непосредственное отношение к компьютерам.
Примерно в 1948 году американский математик Джон Тьюки (1915-2000 гг.) осознал, что в будущем словосочетание «двоичная цифра» (binary digit), вероятно, приобретет гораздо большее значение – по мере распространения компьютеров. Он решил создать новое, более короткое слово, чтобы заменить эти громоздкие пять слогов, и рассматривал такие варианты, как bigit и binit, но остановился на коротком, простом, элегантном и просто замечательном слове bit («бит»).
3730
2020.01.02 19:26:25
