График функции и ловушка Римана

суммы Римана

Если бы я вдруг стал профессиональным художником (что очень маловероятно), я бы нарисовал математический анализ в образе суммы Римана. Роскошно, да, но перед нами не просто смазливая мордашка. Сумма Римана воплощает в себе сущность интеграла. Она носит имя Бернхарда Римана, застенчивого жителя Германии, одаренного богатым воображением. Он прожил всего 39 лет, но оставил свой след (и свои граффити-теги) во всех областях математики: Риманова поверхность, геометрия Римана, гипотеза Римана. В «Википедии» даже имеется страница под названием «Список объектов, названных в честь Бернхарда Римана». Там перечислены 70 пунктов, среди которых есть даже астероид и лунный кратер. «С каждым простым актом мышления, – писал Риман, – в нашу душу входит что-то постоянное и существенное».

Сумма Римана предлагает окончательное решение важной проблемы: что же представляет собой интеграл?
 
Один простой ответ на этот вопрос – «площадь, находящаяся под кривой». Достаточно справедливо. Но ты видишь где-то поблизости кривые, парень? Функции – это густонаселенные джунгли. Все треугольники, круги и трапеции, которые вы изучали в школе, были домашними мышками и кошками по сравнению со свирепыми зверями, которых вы найдете в непроходимых дебрях математики, с монстрами, которых никакая формула не может заключить в клетку.

площадь, находящаяся под кривой
 
Сумма Римана – это нечто вроде универсальной формулы, дротика с транквилизатором, который может успокоить любую функцию. Хотя действует она очень коварно, сама по себе идея чрезвычайно проста: добавляйте все больше, больше и больше прямоугольников.
 
Мы можем начать с четырех. Они стоят бок о бок, создавая линию горизонта из высотных зданий, их этажи направлены вниз к оси х, а крыши создают саму функцию. Если мы нарисуем график так, чтобы они находились внутри, то результат можно назвать «нижней суммой» – заниженной оценкой площади фигуры.

график
Теперь мы повторяем это упражнение, но на этот раз «потолки» прямоугольников не подпирают график функции, а лежат на нем, протыкая границы фигуры. Теперь мы немного переоцениваем реальную площадь, находя «верхнюю сумму».
 
общая площадь графика функции

Это хорошая практика для любого действия по оценке, начиная с бюджета проекта и заканчивая угадыванием количества мармеладного драже в банке. До того как дать один ответ, вначале переоцените количество и недооцените его, сузив разброс возможностей между этими двумя пределами. В любом случае в четырех прямоугольниках ничего особенного нет. Мы можем взять их 20 штук.

ловушка Римана
 
И тут «ловушка Римана» начинает удерживать зверя. Видите, как сокращается разрыв? Видите, как растет нижний потолок и падает верхний? Две суммы приближаются к единственной истине, и чем больше прямоугольников мы используем, тем ближе они сойдутся. Что насчет сотни прямоугольников, тысячи или миллиона? Что насчет миллиарда прямоугольников, квадриллиона или гугола? Что насчет бесконечного числа прямоугольников?
 
сотни прямоугольников

Теперь «ловушка Римана» захлопнулась. Мы отправляемся в воображаемое путешествие за грань возможного, где две оценки встретятся посередине, придя к одному значению – настоящая площадь, интеграл во всей красе.
 
Эта история объясняет смысл интеграла. Мы покрываем какую-то область бесчисленными крошечными прямоугольниками, каждый из которых имеет высоту y и ширину dx, то есть площадь y × dx. Последний штрих – это размашистый S-образный символ Лейбница, сжатая эмблема непрерывности и полноты, которая обозначает «сумму этого бесконечного множества вещей». (Забавный факт: в английском языке «интегральное исчисление» (integral calculus) – это анаграмма выражения «галантные завитки» gallant curlicues).

интегральное исчисление

концепция интеграла Римана
 
Хорошо, вот это и есть концепция интеграла Римана. «Но что насчет семиотики?» – спросите вы. Хотя, возможно, вы не спросите. Возможно, никто никогда не спросит. Тем не менее разве сумма Римана не напоминает линию горизонта небоскребов Нью-Йорка? «Квадраты света следуют один за другим, уходят ввысь и теряются в ней», – писал о вечернем Нью-Йорке поэт Эзра Паунд. «Город взлетающей в высоту геометрии, – говорил эссеист Роланд Барт, – окаменевшая пустыня ячеек и решеток». Как и контур зданий на фоне неба, сумма Римана – это ансамбль, построенный из вертикальных линий.

 контур зданий на фоне неба
Специалист по городскому дизайну Кристоф Линднер заметил, что «сопряженная геометрия этих форм… практически эксклюзивно выстраивает и определяет город с помощью вертикалей». (Тем временем писатель Генри Джеймс называл город «головокружительным» – словом, с которым вы могли бы смириться, если бы были Генри Джеймсом.) То же самое можно сказать и о сумме Римана: когда количество прямоугольников увеличивается, их ширина уменьшается, и мы имеем дело с объектом, направленным исключительно по вертикали.
 
о сумме Римана
Некоторые считают, что линия горизонта в городе подражает природе и даже в чем-то превосходит ее. В романе «Источник» Айн Рэнд писала: «Я бы отдала самый прекрасный закат в мире за один взгляд на силуэты нью-йоркских небоскребов на фоне неба». «Этот архитектурный облик, – подхватывает литературный критик Морин Корриган, – мне милее, чем самый безмятежный закат или покрытые снегом вершины гор». Сумма Римана, как и контуры зданий, живет в таинственной долине. Ее упрощенная геометрия приближенно выражает перетекающую кривую, точно так же как силуэты зданий подражают природному пейзажу.
 
 упрощенная геометрия

Риман преподнес свою теорию миру в 1854 г. А полвека спустя Анри Лебег разработал другую, и она оказалась лучше. Чем же именно? Я просто ощущаю, как гневные плевки поклонников Римана и/или жителей Нью-Йорка летят в меня со всех сторон. Если оставаться справедливым, для большинства практических целей оба определения вполне эквивалентны. То, которое предложил Риман, спотыкается только в верхних слоях математического анализа, где атмосфера становится разреженной и абстрактной.
Возьмем печально известную функцию Дирихле. Вы вводите число. Если оно рациональное  Возьмем печально известную функцию Дирихле  на выходе получается единица; если число иррациональное (как √– 2 или π), на выходе – ноль.
 
Функция Дирихле

Теперь раскрою вам грязный секрет числовой оси – подавляющее большинство чисел являются иррациональными. Рациональные создают только тонкий слой пыли на том, что в своей основе есть иррациональный мир. (Возможно, это напомнит вам планету, на которой вы живете.) Таким образом, в правильном математическом смысле, интеграл этой функции, то есть площадь под этими частицами рациональной пыли, должен быть равен нулю. И именно об этом нам говорит интеграл Лебега.
 
Но интеграл Римана не может это обработать. Пыль загрязняет механизм, поэтому нижняя сумма всегда равна нулю, а верхняя сумма всегда остается единицей. Не важно, сколько прямоугольников вы используете, – эти две суммы никогда не сойдутся.

 интеграл Лебега

Мои скромные возможности не позволяют объяснить метод Лебега во всех подробностях, но я буду рад поделиться аналогией, которую он использовал. В письме к другу Лебег сравнивает свой интеграл и интеграл Римана с помощью образа человека, считающего свои деньги:
 
Я должен заплатить определенную сумму, которая лежит в моем кармане. Я достаю из него купюры и монеты и отдаю их кредитору в том порядке, в каком нахожу, пока не наберу всю сумму. Так действует интеграл Римана. Но я могу поступить по-другому. Достав из кармана все деньги, я раскладываю все купюры и монеты в соответствии с их стоимостью, а потом передаю одну за другой несколько кучек кредитору. Так работает мой интеграл.

Короче говоря, Риман пересчитывает купюры и монеты в том порядке, в котором они поступают.

стиль Римана

Лебег, напротив, перераспределяет их, собирая пенни с пенни, никели с никелями, даймы с даймами.

Стиль Лебега
Если вы находите, что интеграл – еще более неуловимое и расплывчатое понятие, чем производная, то не беспокойтесь. Так кажется не только вам. Производная получается с помощью бесконечного приближения, но интеграл на самом деле не связан с отдалением. Скорее он разрезает объект на бесконечное множество кусочков, перераспределяет их и вновь складывает, чтобы узнать что-то новое о целом.
 
А что же тогда с нашей метафорой о городских небоскребах? Если интеграл Римана – это линия горизонта с силуэтами домов, то чем же, черт побери, является интеграл Лебега?
 
Я считаю, что это город, такой, каким мы знаем его сегодня. В XXI в. мы обнаружили, что связаны не по географическому принципу (восток или запад) – подход Римана, но по более абстрактному критерию – метод Лебега. Цифровая эпоха реорганизовала нас: Facebook соединяет с друзьями, LinkedIn – с коллегами и работодателями, Tinder делит по сексуальной привлекательности, а Twitter – на знаменитостей голубых кровей и немытых плебеев. Лебег жил в головокружительном городе Римана, а мы с вами живем в странных многоярусных ландшафтах, которым Лебег нашел новое определение.

«Если сложить темное прошлое со светлым будущим, получится серое настоящее»

Михаил Жванецкий

Файлы

Загадки электричества

Происхождение человека и половой отбор

Основы современной теории инновационно-технологического развития экономики

Эволюционная психология. Секреты поведения Homo sapiens