График функции и ловушка Римана
![суммы Римана](/upload/userfiles/images/ea3a38062207f9d7943595f60036e07c.png)
Если бы я вдруг стал профессиональным художником (что очень маловероятно), я бы нарисовал математический анализ в образе суммы Римана. Роскошно, да, но перед нами не просто смазливая мордашка. Сумма Римана воплощает в себе сущность интеграла. Она носит имя Бернхарда Римана, застенчивого жителя Германии, одаренного богатым воображением. Он прожил всего 39 лет, но оставил свой след (и свои граффити-теги) во всех областях математики: Риманова поверхность, геометрия Римана, гипотеза Римана. В «Википедии» даже имеется страница под названием «Список объектов, названных в честь Бернхарда Римана». Там перечислены 70 пунктов, среди которых есть даже астероид и лунный кратер. «С каждым простым актом мышления, – писал Риман, – в нашу душу входит что-то постоянное и существенное».
Сумма Римана предлагает окончательное решение важной проблемы: что же представляет собой интеграл?
Один простой ответ на этот вопрос – «площадь, находящаяся под кривой». Достаточно справедливо. Но ты видишь где-то поблизости кривые, парень? Функции – это густонаселенные джунгли. Все треугольники, круги и трапеции, которые вы изучали в школе, были домашними мышками и кошками по сравнению со свирепыми зверями, которых вы найдете в непроходимых дебрях математики, с монстрами, которых никакая формула не может заключить в клетку.
![площадь, находящаяся под кривой](/upload/userfiles/images/c4170a05042c128f358c516610e76308.png)
![площадь, находящаяся под кривой](/upload/userfiles/images/c4170a05042c128f358c516610e76308.png)
Сумма Римана – это нечто вроде универсальной формулы, дротика с транквилизатором, который может успокоить любую функцию. Хотя действует она очень коварно, сама по себе идея чрезвычайно проста: добавляйте все больше, больше и больше прямоугольников.
Мы можем начать с четырех. Они стоят бок о бок, создавая линию горизонта из высотных зданий, их этажи направлены вниз к оси х, а крыши создают саму функцию. Если мы нарисуем график так, чтобы они находились внутри, то результат можно назвать «нижней суммой» – заниженной оценкой площади фигуры.
![график](/upload/userfiles/images/e33ff49c3ec8b79cd28979b6c7e3fc38.png)
![график](/upload/userfiles/images/e33ff49c3ec8b79cd28979b6c7e3fc38.png)
Теперь мы повторяем это упражнение, но на этот раз «потолки» прямоугольников не подпирают график функции, а лежат на нем, протыкая границы фигуры. Теперь мы немного переоцениваем реальную площадь, находя «верхнюю сумму».
![общая площадь графика функции](/upload/userfiles/images/dac8d8567313fec3f990706b4042cfe9.png)
Это хорошая практика для любого действия по оценке, начиная с бюджета проекта и заканчивая угадыванием количества мармеладного драже в банке. До того как дать один ответ, вначале переоцените количество и недооцените его, сузив разброс возможностей между этими двумя пределами. В любом случае в четырех прямоугольниках ничего особенного нет. Мы можем взять их 20 штук.
![ловушка Римана](/upload/userfiles/images/c33a9fadde456b1e6b08d1ff051a8535.png)
![ловушка Римана](/upload/userfiles/images/c33a9fadde456b1e6b08d1ff051a8535.png)
И тут «ловушка Римана» начинает удерживать зверя. Видите, как сокращается разрыв? Видите, как растет нижний потолок и падает верхний? Две суммы приближаются к единственной истине, и чем больше прямоугольников мы используем, тем ближе они сойдутся. Что насчет сотни прямоугольников, тысячи или миллиона? Что насчет миллиарда прямоугольников, квадриллиона или гугола? Что насчет бесконечного числа прямоугольников?
![сотни прямоугольников](/upload/userfiles/images/5c1d30c25e1354c9f488ff8119278d56.png)
Теперь «ловушка Римана» захлопнулась. Мы отправляемся в воображаемое путешествие за грань возможного, где две оценки встретятся посередине, придя к одному значению – настоящая площадь, интеграл во всей красе.
Эта история объясняет смысл интеграла. Мы покрываем какую-то область бесчисленными крошечными прямоугольниками, каждый из которых имеет высоту y и ширину dx, то есть площадь y × dx. Последний штрих – это размашистый S-образный символ Лейбница, сжатая эмблема непрерывности и полноты, которая обозначает «сумму этого бесконечного множества вещей». (Забавный факт: в английском языке «интегральное исчисление» (integral calculus) – это анаграмма выражения «галантные завитки» gallant curlicues).
![интегральное исчисление](/upload/userfiles/images/bc7fd7b0f265c64b6dac433c98ae27ed.png)
![концепция интеграла Римана](/upload/userfiles/images/155ce111623f5a6502eaeda3ad82d9be.png)
![интегральное исчисление](/upload/userfiles/images/bc7fd7b0f265c64b6dac433c98ae27ed.png)
![концепция интеграла Римана](/upload/userfiles/images/155ce111623f5a6502eaeda3ad82d9be.png)
Хорошо, вот это и есть концепция интеграла Римана. «Но что насчет семиотики?» – спросите вы. Хотя, возможно, вы не спросите. Возможно, никто никогда не спросит. Тем не менее разве сумма Римана не напоминает линию горизонта небоскребов Нью-Йорка? «Квадраты света следуют один за другим, уходят ввысь и теряются в ней», – писал о вечернем Нью-Йорке поэт Эзра Паунд. «Город взлетающей в высоту геометрии, – говорил эссеист Роланд Барт, – окаменевшая пустыня ячеек и решеток». Как и контур зданий на фоне неба, сумма Римана – это ансамбль, построенный из вертикальных линий.
![контур зданий на фоне неба](/upload/userfiles/images/2f18f2e5a8ec3d9a416fdffa39b370e5.png)
![контур зданий на фоне неба](/upload/userfiles/images/2f18f2e5a8ec3d9a416fdffa39b370e5.png)
Специалист по городскому дизайну Кристоф Линднер заметил, что «сопряженная геометрия этих форм… практически эксклюзивно выстраивает и определяет город с помощью вертикалей». (Тем временем писатель Генри Джеймс называл город «головокружительным» – словом, с которым вы могли бы смириться, если бы были Генри Джеймсом.) То же самое можно сказать и о сумме Римана: когда количество прямоугольников увеличивается, их ширина уменьшается, и мы имеем дело с объектом, направленным исключительно по вертикали.
![о сумме Римана](/upload/userfiles/images/d5b960f69edc8a644cda628dda13f1e7.png)
Некоторые считают, что линия горизонта в городе подражает природе и даже в чем-то превосходит ее. В романе «Источник» Айн Рэнд писала: «Я бы отдала самый прекрасный закат в мире за один взгляд на силуэты нью-йоркских небоскребов на фоне неба». «Этот архитектурный облик, – подхватывает литературный критик Морин Корриган, – мне милее, чем самый безмятежный закат или покрытые снегом вершины гор». Сумма Римана, как и контуры зданий, живет в таинственной долине. Ее упрощенная геометрия приближенно выражает перетекающую кривую, точно так же как силуэты зданий подражают природному пейзажу.
![упрощенная геометрия](/upload/userfiles/images/15a41778484af476d8560fc57fbc0703.png)
Риман преподнес свою теорию миру в 1854 г. А полвека спустя Анри Лебег разработал другую, и она оказалась лучше. Чем же именно? Я просто ощущаю, как гневные плевки поклонников Римана и/или жителей Нью-Йорка летят в меня со всех сторон. Если оставаться справедливым, для большинства практических целей оба определения вполне эквивалентны. То, которое предложил Риман, спотыкается только в верхних слоях математического анализа, где атмосфера становится разреженной и абстрактной.
Возьмем печально известную функцию Дирихле. Вы вводите число. Если оно рациональное
на выходе получается единица; если число иррациональное (как √– 2 или π), на выходе – ноль.
![Возьмем печально известную функцию Дирихле](/upload/userfiles/images/38fc2c7ff74dca066a970efc570b8201.png)
![Функция Дирихле](/upload/userfiles/images/89cec6c37a833ea82ec2296ae243ec8f.png)
Теперь раскрою вам грязный секрет числовой оси – подавляющее большинство чисел являются иррациональными. Рациональные создают только тонкий слой пыли на том, что в своей основе есть иррациональный мир. (Возможно, это напомнит вам планету, на которой вы живете.) Таким образом, в правильном математическом смысле, интеграл этой функции, то есть площадь под этими частицами рациональной пыли, должен быть равен нулю. И именно об этом нам говорит интеграл Лебега.
Но интеграл Римана не может это обработать. Пыль загрязняет механизм, поэтому нижняя сумма всегда равна нулю, а верхняя сумма всегда остается единицей. Не важно, сколько прямоугольников вы используете, – эти две суммы никогда не сойдутся.
![интеграл Лебега](/upload/userfiles/images/d349a66e35b6b53e35df2df9df0e9ae2.png)
![интеграл Лебега](/upload/userfiles/images/d349a66e35b6b53e35df2df9df0e9ae2.png)
Мои скромные возможности не позволяют объяснить метод Лебега во всех подробностях, но я буду рад поделиться аналогией, которую он использовал. В письме к другу Лебег сравнивает свой интеграл и интеграл Римана с помощью образа человека, считающего свои деньги:
Я должен заплатить определенную сумму, которая лежит в моем кармане. Я достаю из него купюры и монеты и отдаю их кредитору в том порядке, в каком нахожу, пока не наберу всю сумму. Так действует интеграл Римана. Но я могу поступить по-другому. Достав из кармана все деньги, я раскладываю все купюры и монеты в соответствии с их стоимостью, а потом передаю одну за другой несколько кучек кредитору. Так работает мой интеграл.
Короче говоря, Риман пересчитывает купюры и монеты в том порядке, в котором они поступают.
![стиль Римана](/upload/userfiles/images/b6cfbee5144db4634e25bbe10fa067f6.png)
Лебег, напротив, перераспределяет их, собирая пенни с пенни, никели с никелями, даймы с даймами.
![Стиль Лебега](/upload/userfiles/images/ec3e7c8a3b656657d977f4e90112aa1b.png)
![Стиль Лебега](/upload/userfiles/images/ec3e7c8a3b656657d977f4e90112aa1b.png)
Если вы находите, что интеграл – еще более неуловимое и расплывчатое понятие, чем производная, то не беспокойтесь. Так кажется не только вам. Производная получается с помощью бесконечного приближения, но интеграл на самом деле не связан с отдалением. Скорее он разрезает объект на бесконечное множество кусочков, перераспределяет их и вновь складывает, чтобы узнать что-то новое о целом.
А что же тогда с нашей метафорой о городских небоскребах? Если интеграл Римана – это линия горизонта с силуэтами домов, то чем же, черт побери, является интеграл Лебега?
Я считаю, что это город, такой, каким мы знаем его сегодня. В XXI в. мы обнаружили, что связаны не по географическому принципу (восток или запад) – подход Римана, но по более абстрактному критерию – метод Лебега. Цифровая эпоха реорганизовала нас: Facebook соединяет с друзьями, LinkedIn – с коллегами и работодателями, Tinder делит по сексуальной привлекательности, а Twitter – на знаменитостей голубых кровей и немытых плебеев. Лебег жил в головокружительном городе Римана, а мы с вами живем в странных многоярусных ландшафтах, которым Лебег нашел новое определение.
1459
2021.05.02 21:01:01