Алеф-нуль

Математики свободно и широко пользуются словом "бесконечность". Неформально можно сказать, что что-то бесконечно, если вы не можете обозначить его величину при помощи обычных натуральных чисел или выразить его длину в обычных действительных числах. В отсутствии традиционного числа мы используем «бесконечность» как его своеобразный заменитель. Бесконечность — не число в обычном смысле этого слова. Это, так сказать, то, чем было бы наибольшее возможное число, если бы эта фраза имела хоть какой-то смысл. 

 

Но логического смысла в ней нет, если только вы не определите очень-очень тщательно, что имеете в виду. Кантор нашел способ превратить бесконечность в настоящее число, пересчитав бесконечные множества. В применении к множеству натуральных чисел его идея позволяет определить бесконечное число, которое он назвал  (алеф-нуль). 

 

Это число больше любого натурального числа. Таким образом, это бесконечность, не правда ли? Ну, своего рода. Определенно, это некоторая бесконечность. Более того, это наименьшая бесконечность, поскольку существуют и другие бесконечности — и они больше.

 

 

Когда дети учатся считать и начинают осваиваться с большими числами, такими как тысяча или миллион, они часто интересуются, чему равно самое большое возможное число. Может быть, думают они, это что-то вроде

 

1 000 000 000 000 000.

 

В какой-то момент, однако, они понимают, что можно сделать число и побольше, если приставить в конце еще один нулик или просто добавить единицу и получить

 

1 000 000 000 000 001.

 

Ни одно конкретное натуральное число не может быть наибольшим, поскольку добавление единицы способно увеличить любое число. Натуральные числа продолжаются до бесконечности. Если начать считать и делать это не останавливаясь, невозможно добраться до наибольшего возможного числа и остановиться, поскольку такого числа не существует. Чисел бесконечно много.

 

Сотни лет математики с большой осторожностью относились к бесконечности. Когда Евклид доказал, что простых чисел существует бесконечно много, он формулировал это не так. Он сказал: «Простые числа превосходят любую определенную величину». Иными словами, наибольшего простого числа не существует.

 

Если отбросить осторожность, то очевидный путь здесь — воспользоваться историческими прецедентами и ввести новый тип числа, который по определению будет больше любого натурального числа. Назвать его «бесконечностью» и обозначить определенным символом. Обычно используется символ ∞, напоминающий лежащую на боку цифру 8. Но бесконечность может породить проблемы, поскольку иногда ведет себя парадоксально.

 

Конечно же, ∞ — наибольшее возможное число? Ну, по определению оно больше любого натурального числа, но стоит нам попытаться применить наше новое число в арифметических действиях, как все станет куда менее очевидным. Первый естественный вопрос: чему равно ∞ + 1? Если результат больше, чем ∞, то ∞ уже не может быть наибольшим возможным числом. 

 

Но если результат этого действия — по-прежнему ∞, то ∞ = ∞ + 1. Вычитаем ∞, получаем 0 = 1. И как насчет ∞ + ∞? 

 

Если это больше, чем ∞, то возникают уже упоминавшиеся трудности. Если не больше, то ∞ + ∞ = ∞. Вычитаем ∞, получаем ∞ = 0.

 

Опыт обращения с предыдущими расширениями числовой системы показывает, что при введении новых типов чисел нам неизменно приходится жертвовать какими-то правилами арифметики или алгебры. В данном случае нам, похоже, придется запретить вычитание, если речь идет о числе ∞. По аналогичным причинам мы не можем также ожидать, что деление на ∞ работает так же, как в обычном случае. Но согласитесь, хилое получается число, если его нельзя использовать ни для вычитания, ни для деления.

 

Это могло бы положить конец всей истории, но возможность работать с бесконечными процессами представлялась математикам чрезвычайно полезной. Так, полезные результаты можно было получить разбиением фигур на кусочки, которые затем последовательно уменьшались до бесконечности. Например, с помощью такого бесконечного процесса можно объяснить, почему одно и то же число π фигурирует и в формуле длины окружности, и в формуле площади круга. Около II в. до н.э. Архимед успешно воспользовался этой идеей в работе об окружностях, сферах и цилиндрах. Он нашел сложное, но логически строгое доказательство того, что этот метод дает верные ответы.

 

Начиная с XVII в. нужда в разумной теории такого рода процессов стала очень заметной; особенно это касалось бесконечных последовательностей, которыми можно было аппроксимировать важные числа и функции с любой заданной точностью путем простого сложения все большего числа уменьшающихся чисел. К примеру, мы видим, что

 

 

где сумма чисел, обратных квадратам, выражена через π. Это утверждение верно, только если последовательность продолжается до бесконечности. Если остановиться, то сумма последовательности даст некое рациональное число, которое — после умножения на 6 и извлечения корня — даст приближенное значение π. Однако так не удастся получить точное значение π, потому что π — число иррациональное. И в любом случае, где бы мы ни остановились, добавление следующего члена увеличит сумму и результат.

 

Трудность с подобными бесконечными суммами состоит в том, что иногда они, на первый взгляд, лишены всякого смысла. Классический пример:

 

1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + …

 

Если эту сумму записать как 

 

(1 – 1) + (1 – 1) + (1 – 1 ) + (1 – 1) + …,

 

она превратится в 

 

0 + 0 + 0 + 0 + …,

 

что с очевидностью равно 0. Но если записать ее в иной форме (мы считаем, что к ней применимы обычные законы алгебры), то получится

 

1 + (–1 + 1) + (–1 + 1) + (–1 + 1) + (–1 + 1) + …

 

Это соответствует

 

1 + 0 + 0 + 0 + …,

 

что с не меньшей очевидностью должно равняться 1.

 

Оказалось, что проблема здесь заключается в том, что эта последовательность не сходится; это значит, что ее сумма не стремится к какой-то определенной величине, подходя к ней все ближе и ближе по мере прибавления все новых членов. Вместо этого величина суммы становится по очереди равной то 1, то 0:

 

1 = 1,

0 = 1 – 1,

1 = 1 – 1 + 1,

0 = 1 – 1 + 1 – 1

 

 

и так далее. Это не единственный источник потенциальных проблем, но это указывает путь к логичной теории бесконечных рядов. Смысл имеют те, что сходятся, то есть те, у которых при добавлении все новых членов сумма все ближе подходит к какому-то конкретному числу. Ряд чисел, обратных квадратам, сходится, причем сходится ровно к π^2 / 6.

 

Философы отличают потенциальную бесконечность от актуальной. Нечто потенциально бесконечно, если может, в принципе, быть продолжено до бесконечности — как добавление все новых членов ряда. Каждая отдельная сумма при этом конечна, но процесс генерации этих сумм не имеет фиксированного конца. Актуальная бесконечность возникает, когда весь бесконечный процесс или вся бесконечная система рассматриваются как единый объект. Математики нашли разумный способ интерпретировать потенциальную бесконечность бесконечных рядов. Они использовали несколько различных потенциально бесконечных процессов, но во всех интерпретировали символ бесконечности как «продолжать до тех пор, пока не подойдешь к верному ответу настолько близко, 

насколько это необходимо».

 

Актуальная бесконечность — совершенно иное дело, и математики изо всех сил старались держаться от нее подальше.

 

 

Для обычных натуральных чисел 1, 2, 3, … Я добрался до идеи Фреге о том, что это класс всех классов, соответствующих данному классу, и остановился, намекнув только, что здесь может содержаться ловушка. Ловушка тут действительно есть.

 

Это определение очень элегантно — если, конечно, привыкнуть к такому стилю мышления; к тому же у него есть существенное достоинство — оно определяет уникальный объект. Однако не успели на шедевре Фреге высохнуть чернила, как Расселл выдвинул возражение. Не против основной идеи, а против того типа класса, которым пришлось воспользоваться Фреге. Класс всех классов, соответствующих нашему классу чайных чашек, громаден. Возьмите три любых объекта, объедините их в класс, и результат обязательно окажется элементом вездесущего класса классов Фреге. К примеру, класс, элементами которого являются Эйфелева башня, конкретный вид маргариток в полях Кембридшира и афоризм Оскара Уайльда, придется в него включить.

 

 

Имеют ли такие всеобъемлющие классы хоть какой-нибудь смысл? Расселл понял, что, вообще говоря, смысла в них нет. Его пример представлял собой один из вариантов знаменитого парадокса брадобрея. В одной деревне жил брадобрей, который брил тех и только тех, кто не брился сам. Кто же брил брадобрея? При условии, что все в деревне бреются тем или иным способом, такого брадобрея просто не может существовать. 

 

Если он не бреется сам, то по определению он должен брить себя. Если же он бреет себя сам, то нарушается условие о том, что он бреет только тех, кто не бреется сам. Здесь мы считаем, что брадобрей — мужчина, чтобы избежать с ним / с ней проблем. Однако, дамы, сегодня мы знаем, что многие из вас тоже бреются, хотя бреют обычно и не бороду. Так что брадобрей-женщина — не настолько удачное решение этого парадокса, как многие думали.

 

Расселл нашел класс, очень похожий на тот, что хотел использовать Фреге, который ведет себя в точности так, как брадобрей: класс всех классов, которые не содержат сами себя. Содержит этот класс сам себя или не содержит? Оба варианта можно исключить. Если этот класс содержит себя, то для него выполняется то же условие, что и для всех прочих входящих в него классов: он не содержит себя. Но если он не содержит себя, то он удовлетворяет условию вхождения и, следовательно, содержит себя.

 

Хотя парадокс Расселла не доказывает, что определение числа по Фреге логически противоречиво, он все же означает, что невозможно просто, без всяких доказательств, считать, что любое условие типа да/нет определяет класс, то есть те объекты, для которых условие выполняется. И это сразу выбило фундамент из-под подхода Фреге. Позже Расселл и его коллега Альфред Норт Уайтхед попытались заделать возникшую прореху, разработав хитроумную теорию о классах, которые могут быть определены разумным образом в определенной математической среде. Результатом их работы стал трехтомный труд «Математические начала» (Principia Mathematica) — сознательная дань уважения Исааку Ньютону — в котором вся математика выводилась из логических свойств классов. 

 

Чтобы определить число 1, понадобилось несколько сотен страниц текста; немало места ушло также на определение знака + и доказательство того, что 1 + 1 = 2. После этого дело пошло намного быстрее.

 

 

Теперь уже мало кто из математиков пользуется подходом к классам, предложенным Расселлом и Уайтхедом, поскольку более простые подходы работают лучше. Ключевая фигура в формулировании сегодняшних логических оснований математики — Кантор. Начинал он, как и Фреге, с попытки разобраться в логической базе натуральных чисел. Но исследования увели его в другом направлении: к присвоению числовых значений бесконечным множествам. Эти числовые значения стали называть трансфинитными кардинальными числами (кардинальные числа — это обычные счетные числа). Их замечательнейшая черта — то, что таких чисел больше одного.

 

Кантор работал также с наборами объектов, которые он называл множествами, а не классами, потому что на объекты в них накладывалось больше ограничений, чем допускал Фреге (у него объекты могли быть любыми). Подобно Фреге, он начал с интуитивной идеи о том, что два множества имеют одинаковое число членов тогда и только тогда, когда между этими множествами можно установить соответствие. В отличие от Фреге, он делал это в том числе и для бесконечных множеств. Более того, вначале он, возможно, полагал, что так можно определить бесконечность. Очевидно же, что любое бесконечное множество можно поставить в соответствие любому другому бесконечному множеству? Если так, то должно существовать ровно одно бесконечное число и оно должно быть больше любого конечного числа — на том и делу конец. Оказалось, однако, что это лишь начало.

 

 

Базовое бесконечное множество — это множество всех натуральных чисел. Поскольку эти числа используются для счета, Кантор определил любое множество как счетное, если его элементы можно поставить в соответствие множеству натуральных чисел. Обратите внимание: рассматривая это множество целиком, Кантор говорил об актуальной, а не потенциальной бесконечности.

 

Множество всех натуральных чисел, очевидно, счетное, — достаточно каждое число в нем поставить в соответствие самому себе.

 

Существуют ли другие такие множества? Да, и притом странные. Как насчет такого?

 

 

Удалите число 1 из множества натуральных чисел, и общее число его элементов не уменьшится на 1: оно останется в точности таким же, как было. Согласен, если остановиться на каком-то конечном числе, то на правом конце у нас останется лишнее число, однако если использовать все натуральные числа, то правого конца у нас просто не будет. Любое число n соответствует числу n + 1, и это соответствие связывает множество всех натуральных чисел и то же множество без числа 1. Часть здесь по размеру равна целому.

 

Кантор назвал свои бесконечные числа кардинальными, поскольку иногда таким цветистым образом в арифметике называют обычные натуральные числа, используемые при счете. Мы, чтобы выделить, называем эти числа трансфинитными, или просто бесконечными, кардинальными числами. Для обозначения кардинальных чисел, в отличие от натуральных, Кантор выбрал необычный символ — первую букву א(алеф) еврейского алфавита, поскольку сама идея была весьма необычной. Он добавил к символу нижний индекс 0, написав א. 

 

Если любое бесконечное множество можно было бы поставить в соответствие множеству натуральных чисел, то  стал бы всего лишь вычурным символом для обозначения «бесконечности». И вначале было похоже, что дело вполне может обернуться именно так. К примеру, существует множество нецелых рациональных чисел, так что, на первый взгляд, мощность множества рацио нальных чисел вполне могла бы оказаться больше .

 

Однако Кантор доказал, что рациональные числа можно поставить в соответствие обычным натуральным числам. Таким образом, мощность их множества тоже равна . Чтобы приблизительно представить, как это происходит, рассмотрим рациональные числа между 0 и 1. Фокус в том, чтобы записать их в правильном порядке, который не соответствует порядку численному. Вместо этого мы распределим их по величине знаменателя — числа  под чертой дроби. 

 

Для каждого конкретного знаменателя мы расставим числа по величине числителя — числа  над чертой. Список у нас получится примерно такой:

 

 

где, например, 2/4 пропущена, потому что эта дробь равна 1/2. 

 

Теперь мы можем соотнести эти рациональные числа со счетными, взяв их именно в этом конкретном порядке. Каждое рациональное число между 0 и 1 найдется где-то в нашем списке, так что ни одно из них не окажется неучтенным. До сих пор теория Кантора позволила получить лишь одно бесконечное кардинальное число — .