Стихи и математика

Бытует мнение, что искусство далеко от науки, и особенно – от математики, такой холодной и расчетливой. А между тем... 

 

Вспомните Леонардо да Винчи (1452–1519) – инженера и художника, Жака Рубо – французского поэта и математика, родившегося в 1932-м, или Готфрида Лейбница – немецкого математика, чьему перу принадлежит следующее высказывание: «Музыка есть бессознательное упражнение души в арифметике». Настоящие гении интересуются всем!

 

Однажды писатель и любитель математики Ремон Кено (1903–1976) открыл миру «секстину» – старинную форму стихотворения, состоящего из шести строф, каждая из которых включала 6 строк. Оканчивались строки всегда одними и теми же шестью словами, но каждая новая строфа повторяла конечные слова предыдущей строфы. Далее вы прочтете пример такого стихотворения – отрывок из поэмы «L’exil des esprits» Фердинанда де Грамона – политика и поэта 19 века (для русскоязычного читателя приведем ниже отрывок из стихотворения «Секстина» Игоря Северянина).

 

 

 

Предчувствие – томительней кометы, (1)

Непознанной, но видимой везде. (2)

Послушаем, что говорят приметы (3)

О тягостной, мучительной звезде. (4)

Что знаешь ты, ученый! сам во тьме ты, (5)

Как и народ, светлеющий в нужде. (6)

Не каждому дано светлеть в нужде (6)

И измерять святую глубь кометы… (1)

Бодрись, народ: ведь не один во тьме ты, – (5)

Мы все во тьме – повсюду и везде. (2)

Но вдохновенна мысль твоя в звезде, (4)

И у тебя есть верные приметы. (3)

[...]

 

Математики называют подобный порядок смены слов перестановкой: один и тот же порядок перемещения слов от строфы к строфе. 

 

Для удобства пронумеруем слова, чтобы отследить перестановку: 123456 → 615243 – так представлен порядок слов во второй строфе. Чтобы определить порядок слов в третьей строфе – повторите процедуру, и у вас получится: 364125. 

 

Таким образом, перестановка состоит в том, чтобы каждый раз менять местами первое и последнее слово в последующей строфе. Сначала первое, потом предпоследнее, потом второе и так далее, один к двум в начале, один к двум в конце. Рисунок хорошо иллюстрирует этот алгоритм: на линии отображен порядок слов в первой строфе, а на спирали – порядок слов в последующей строфе. 

 

 

К концу шестой перестановки возвращается изначальный порядок слов: 123456 → 615243 → 364125 → 532614 → 451362 → 246531 → 123456

 

Вот почему в секстине именно шесть строф!

 

Эта перестановка вдвойне примечательна (несмотря на иные преимущества): она отлично перемешивает слова (порядок слов полностью поменялся, а не так, как в простой перестановке 123456 → 234561), и в каждой строфе шесть строк, а в стихотворении шесть строф, прежде чем вернется первоначальный порядок. Но это не всегда так, взгляните на пример перестановки 123456 → 654321: уже третья строфа будет в том же порядке, что и первая.

 

Ремон Кено хотел упорядочить эти знания (обычное дело для математиков – находить максимальное число соответствий и категоризировать их). И тогда он задался следующим вопросом: возможно ли написать стихи с n-ным количеством строф, по аналогии с секстинами, но с любым количеством строк в строфе?

 

Следуя логике, мы можем написать «квинтины», пять строф по пять строк в каждой. Доказательство? Воспроизведем порядок перестановки в секстине: 12345 → 51423 → 35214 → 43152 → 24531 → 12345.

 

Пять строф подряд порядок последних слов менялся, а на шестой строфе он вновь вернулся к первоначальному, великолепно!

 

В то же время, если вы захотите написать «септину» из семи строф по семь строк: 1234567 → 7162534 → 4731562 → 2467531 → 1234567. 

 

Увы! Порядок слов первой строфы вернулся уже на пятой итерации, слишком рано!

 

К чести Ремона Кено, его стихотворения сегодня называются «кенинами» – и числа, для которых кенины возможны, называются числами Кено. Вот начало этого списка: 1, 2, 3, 5, 6, 9, 11, 14, 18, 23, 26, 29, 30, 33, 35, 39, 41, 50, 51, 53, 65, 69, 74, 81, 83, 86, 89, 90, 98, 99… А много их там еще? Никто не может точно сказать, конечны ли числа Кено. Поиски продолжаются, поскольку еще в 2008 году этот вопрос оставался нерешенным. Пожелаем терпения энтузиастам!